Funksiyani hosila yordamida tckshirish va grafigini

8.6.1. Vertikal asimptotalar. y  f x funksiya a nuqtaning biror
^{ >0 atrofida aniqlangan, ya’ni x U} ^{( a ) bo‘lsin.}

8.6.2-ta’rif. Agar
lim
xa0
f x,
lim
xa0
f x
lardan biri yoki ularning

ikkalasi ham cheksiz bo‘lsa, x =a to‘g‘ri chiziq
f x
funksiya

grafigining vertikal yoki O y o‘qqa parallel asimptotasi deyiladi (7.2-
a ),b) chizmalar).

8.1-chizma.

8.2-chizma.

Demak,
y  f x
funksiya grafigining vertikal asimptotalarini

izlash uchun funksiyaning qiymatini cheksizlikka aylantiradigan

(cheksiz uzilishga ega bo‘lgan)
x  a
nuqtani topish kerak ekan. Bunda

x  a to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota bo‘ladi.

8.6.3-eslatma. Umuman aytganda, y  f x
funksiyaning grafigi

bir nechta vertikal asimptotalarga ega bo‘lishi ham mumkin.

8.6.4– misol. Ushbu
vertikal asimptotasini toping.
f x=
1


х  2
, x [-2; 3] funksiya grafigining

Yechilishi. Berilgan funksiyaning maxraji x =2 nuqtada nolga aylanadi. x 20 da berilgan funksiyaning limitini hisoblaymiz:

lim
x20
f x=
lim
x20
1


х  2
 ,
lim
x20
f x=
lim
x20
1


х  2
  .

Demak, 2-ta’rifga ko‘ra berilgan funksiyaning grafigi uchun x =2 to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota bo‘ladi (8.3-chizma).
8.6.5-misol. Ushbu f x=ctg x funksiya grafigining vertikal
asimptotasini toping.
Yechilishi. Berilgan funksiya x =n (nZ) nuqtalarda 2 tur uzilishga ega. x n0 (nZ) da berilgan funksiyaning limiti  ga aylanadi. Shuning uchun, 8.6.2-ta’rifga asosan, funksiyaning grafigi cheksiz ko‘p vertikal asimptotalarga ega (8.4-chizma): x =0, x = n, x = 2,..


y


₀ ^a x

с)

8.3-chizma.

8.6.6. Gorizontal asimptotalar. 8.6.7-ta’rif. Agar

d)
8.4-chizma.

lim
x
( x )
f x=b (bR)

bo‘lsa, y =b to‘g‘ri chiziq x + ( x -) da
y  f x
funksiya

grafigining gorizontal yoki O x o‘qqa parallel asimptotasi deyiladi. (8.5-
a ),b),c),d) chizmalar).

8.6.8-misol. Ushbu asimptotasini toping.
f x=
_х 2


х ²  2
funksiya grafigining gorizontal

2
Yechilishi. Berilgan funksiya R da aniqlangan. x   da berilgan funksiyaning limitini hisoblaymiz:

lim
f x=
lim
^х  lim
¹  1.

x
x
х ²  2
x ₂


1
_х 2

Demak, 8.6.7-ta’rifga ko‘ra, berilgan funksiyaning grafigi uchun y =1 to‘g‘ri chiziq gorizontal asimptota bo‘ladi (8.6-chizma).
8.6.9– misol. Ushbu
f x= ¹
х



b)






с)
8.5-chizma.

funksiya grafigining vertikal va gorizontal asimptotalarini toping.

Yechilishi. Ravshanki,
¹ funksiyaning grafigi uchun x =0 va y =0
х

to‘g‘ri chiziqlar, mos ravishda, vertikal va gorizontal asimptotalar bo‘ladi:

lim
x00
f x=
lim
x00
¹  ,
х
lim
x
f x=
lim
x
¹  0.
х
(7.7-chizma).

8.6.10. Og‘ma asimptotalar.

x=0
y

7. 6-чизма. 7.7-чизма.

8.6.11-ta’rif. Shunday k va b chekli sonlar mavjud bo‘lib, x +
( x -) da
f x funksiya quyidagi f x=k x +b+( x ) ko‘rinishda ifodalansa (bunda

^lim ( x )=0), Y =k x +b to‘g‘ri chiziq
x
y  f x
funksiya grafigining

og‘ma asimptotasi deyiladi. Xususiy holda k=0 bo‘lsa, Y =b to‘g‘ri chiziq gorizontal asimptota bo‘ladi.
8.6.12-teorema. y  f x funksiya grafigi x  da Y =k x +b
og‘ma asimptotaga ega bo‘lishi uchun

lim
x
f (x) _{ k,}
x
lim[ f (x)  kx]  b
x
(8.6.13)

munosabatlar o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
(8.6.13) limitlarni hisoblashda quyidagi xususiy hollar bo‘ladi:

1. 
   hol. Argument x ning ishorasiga bog‘liq bo‘lmagan holda, ushbu
   

lim
x
f (x) _
x
lim
x
f (x) _{ k,}
x

lim[ f (x)  kx] 
x
lim[ f (x)  kx]  b
x

ikkala limit ham mavjud va chekli . Bu holda Y =k x +b to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining ikki tomonlama og‘ma asimptotasi bo‘ladi (quyidagi 1-misolga qarang).

2. 
   hol. Argument x ham musbat, xam manfiy ishorali cheksizlikka intilganda, ushbu
   

lim
f (x) _{ k ,}
lim
f (x) _{ k ,}
lim[ f (x)  kx]  b ,
lim[ f (x)  kx]  b

x _x
¹ x _x
² x
¹ x ²

limitlar mavjud, lekin ular o‘zaro har xil (hyech bo‘lmagan k₁k₂ yoki b₁b₂ teng emas). Bu holda Y ₁= k₁ x +b₁ va Y ₂=k₂ x +b to‘g‘ri chiziqlar funksiya grafigining mos ravishda ikkita bir tomonli (o‘ng va chap) og‘ma asimptotalari bo‘ladi (2-misolga qarang).

3. 
   hol. Faqat x + da
   

lim
x
f (x) _{ k,}
x
lim[ f (x)  kx]  b
x

ikkala limit ham mavjud. Bu holda Y =k x +b to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining faqat o‘ng og‘ma asimptotasi bo‘ladi (3-misolga qarang).

4. 
   hol. Faqat x -  da
   

lim
x
f (x) _{ k,}
x
lim[ f (x)  kx]  b
x

ikkala limit ham mavjud. Bu holda Y =k x +b to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining faqat chap og‘ma asimptotasi bo‘ladi.
Agar yuqoridagi hollarning barchasida k=0 bo‘lsa, Y =b to‘g‘ri chiziq gorizontal asimptota bo‘ladi.
Funksiya grafigining asimtotalarga nisbatan joylanishini aniqlash

uchun har bir
x  ,
x  
hollarda
f (x)  (kx  b)
ayirmaning

ishorasi tekshiriladi.
Agar ayirmaning ishorasi musbat (manfiy) bo‘lsa, funksiya grafigi asimtotadan yuqori (past) dajoylashgan bo‘ladi. Agar ayirma ishorasini o‘zgartirsa, u holda asimtota funksiya grafigini kesadi.

8.6.14-misol. Ushbu y =
asimptotalarini toping.
funksiya grafigining og‘ma

Yechilishi. Og‘ma asimptotalarni topamiz:

k= lim
x
f (x) x
 lim
x _x
 1,


y

y=-
y=x

x

8.8-chizma..

b= lim
x


f (х)

• 
  kx 
  

lim
x

³ x³ 1 
x

lim
x

x³ 1  x³


0

Demak, 8.6.12- teoremaga asosan, y = x to‘g‘ri chiziq berilgan funksiyaning ikki tomonlama og‘ma asimptotasi bo‘ladi.

8.6.15-misol. Ushbu y =
asimptotalarini toping.
funksiya grafigining og‘ma

Yechilishi. Og‘ma asimptotalarni topamiz:
у

k₁= lim
x _x
k₂= lim ^у
x _x
 lim
x _x

 lim

x _x
 lim
x

 lim

x
 1,


 1,

b₁= lim ( y  k x)  lim (

• 
  x)  lim
  

¹  0,

x ¹

2
b₂= lim ( y  k
x
x) 
x


lim (
x

 x) 

x
lim ¹
x
 lim
x
 0 .

Demak, 8.6.12-teoremaga asosan, Y ₁= x va Y ₂=- x to‘g‘ri chiziqlar, mos ravishda, berilgan funksiyaning bir tomonli (o‘ng va chap) og‘ma asimptotalari bo‘ladi (7.8-chizma). Berilgan funksiyani quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin: y ²- x ²=1.