Funksiyaning hosilasi Funksiya hosilasining taʼriflari

Harakatlanayotgan nuqtaning tezligi haqidagi masala
To‘gri chiziqli harakatlanayotgan moddiy nuqtaning tezligini topish masalasini qaraymiz. Nuqtaning holatini uning biror boshlang‘ich nuqtadan hisoblanadigan masofa aniqlaydi; ana shu masofa bosib o‘tilgan yo‘l deb ataladi. Bosib o‘tilgan yo‘l vaqtga bog‘liq, ya’ni yo‘l vaqtning funksiyasi bo‘ladi:
(1)
N uqta vaqtning momentida holatda bo‘lib, boshlang‘ich nuqtadan masofada bo‘lsin. o‘zgaruvchiga orttirma beramiz va vaqtning momentini qaraymiz, bunda nuqta holatda va boshlang‘ich holatdan masofada bo‘ladi (1- rasm).

Shunday qilib vaqt oralig‘ida masofa miqdorga ozgaradi: . Bunday holda vaqt mobaynida miqdor orttirma oldi deyiladi. Bu orttirma aniqlanishiga ko‘ra,

(2)
tenglikni qanoatlantiradi. Endi nisbatni qaraymiz. Bu nisbat vaqt mobaynidagi o‘rtacha tezlikni beradi:
(3)
Har doim ham o‘rtacha tezlik nuqtaning momentdagi tezligini beravermaydi. Masalan, oraliqning boshida nuqta juda tez harakatlansa, oxirida esa juda sekin harakat qilsa, u holda vaqtning momentidagi haqiqiy tezlikdan o‘rtacha tezlik ancha farq qilishi ravshan. Ana shu haqiqiy tezlikni o‘rtacha tezlik orqali ifodalash uchun vaqt oraligini imkon darajasida kichik olish kerak.
Nuqtaning momentdagi tezlik deb , vaqt oralig‘idagi o‘rtacha tezlikning vaqt oralig‘i 0 ga intilganda limitiga aytiladi:
(4)
(4) tenglikni (2) tenglikdan foydalanib yozamiz:
(5)
Hosil qilingan formula notekis harakat tezligi formulasi bo‘ladi. (5) formuladan ko‘rinib turibdiki, tezlik vaqtning orttirmasiga bog‘liq bo‘lmasdan, balki o‘zgaruvchining qiymatiga va funksiyaning ko‘rinishiga bog‘liq bo‘lar ekan.