Funksiyaning uzluksizligi

1. Funksiyaning nuqtadagi hosilasi. u = f(x) funksiya (a, b) intervalda aniqlangan bo‘lsin. (a, b) intervalga tegishli x₀ va x₀+ x nuqtalarni olamiz.
u=f(x) funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlari f(x₀) va f(x₀ + x) dan funksiyaning u=f(x₀+ x)—f(x₀) orttirmasini tuzamiz. U argument x ga o‘zgarganda funksiya qanchaga o‘zgarganini ko‘rsatadi. nisbatni qaraymnz. Uni argument ga o‘zgarganida funksiyaning o‘rtacha o‘zgarishi deb ataladi.
1-ta’rif. Funksiya orttirmasi u ning argument orttirmasi ga nisbatining x nolga intilgandagi limiti u =f(x) funksiyaning x₀ nuqtadagi hosilasi deb ataladi.
Bu limit ushbu belgilardan biri bilan belgilanadi:
, .
SHunday qilib,
f(x₀ )=
Agar bu limit mavjud (ya’ni chekli songa teng) bo‘lsa, hosila x₀ nuqtada mavjud deb ataladi.
2-ta’rif. Agar bo‘lsa, u=f(x) funksiya x₀ nuqtada cheksiz hosilaga ega deb aytiladi.
Agar hosila ta’rifida yoki bo‘lsa, bir tomonlama hosilalarga ega bo‘lamiz, ular f₊(x₀) va f_-(x₀) bilan belgilanadi hamda
₊(x₀) — x₀ nuqtadagi o‘ng hosila,
-x₀ nuktadagi chap hosila.
y= (x) funksiyaning x₀ nuqtada hosilasi mavjud bo‘lishi uchun o‘ng va chap hosilalar mavjud va teng, ya’ni


f’₊(x₀)=f’_-(x₀)
bo‘lishi zarur va etarlidir.
Hosilapi topish jarayoni funksiyani differen-siallash deb ataladi.