Funksiyaning uzluksizligi

Funksiyaning differensiallanuvchanligi
1-t a ‘ r i f. Agar u = f(x) funkspya x₀ nuqtada chekli hosilaga ega, ya’ni
f(x₀)= chekli son bo‘lsa, bu funksiya shu nuqtada hosilaga ega deyiladi.
2-t a ‘ r i f. Agar u=f(x) funksiya (a, b) intervalning har bir nuqtasida hosilaga ega bo‘lsa, u shu interealda differensiallanuvchi deb ataladi.
3-t a ‘ r i f. Agar u=f'(x) funksiya [a, b] kesmaning barcha ichki nuqtalarida differensiallanuvchi hamda chekli bir tomonlama f₊(a) va f_-(b) Hosilalar mavjud bo‘lsa, bu funksiya shu kesmada differensiallanuvchi deb ataladi.
Funksiyaning uzluksizligi va differensiallanuvchanligi orasidagi bog‘lanishni belgilaydigan quyidagi teoremani isbotlaymiz.
T e o r e m a. Agar u=f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u shu nuqtada uzluksizdir.
I s b o t i. u = f(x) funksiya x₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lgani uchun ta’rifga ko‘ra ushbu tenglik o‘rinli:
(x₀) - chekli son.
Lekin 5-teoremani (1-bob, 5-§) qo‘llanib bunday yozish mumkin:
,
bu erda — 0 da a — cheksiz kichik funksiyadir. Bundan u=f’(x₀) . Bu tenglik da u 0 bo‘lishini ko‘rsatadi, ya’ni . Bu esa
u = f(x) funksiya x₀ nuqtada uzluksizligini bildiradi (1- bob, 12-§, 3-ta’rif).
Teskari da’vo, umuman aytganda, to‘g‘ri emas, chunonchi biror nuqtada uzluksiz, lekin bu nuqta differensiallanuvchi bo‘lmagan funksiyalar mavjud.
Ushbu funksiyani qaraylik (83- shakl):
u = f (x) = =

Bu funksiya x ning barcha qiymatlarida aniqlantan va barcha nuqtalarda, xususan x = 0 nuqtada uzluksiz. U shu nuqtada differensiallanuvchi emasligini ko‘rsatamiz. Hosilaning geometrik ma’nosidan , kelib chiqadi.
83 – shakl SHunday qilib, . Bu esa x = 0 nuqtada hosila mavjud emasligini, ya’ni funksiya differensiallanuvchi emasligini bildiradi.
Differensiallashning asosiy qoidalari
1. O‘zgarmasning hosilasi.
1-teorema. O‘zgarmasning hosilasi nolga teng:
S'=0.
I s b o t i. x argument x orttirma olganida u funksiya ushbu orttirmani oladi:
y=f(x + x) — f(_X) = S — S=0.
Demak, y' == = 0. SHunday qilib, y' = 0 yoki S’ =0.