Funksiyaning uzluksizligi

2. Logarifmik differensiallash. Agar f(x) funksiya logarifmlanadigan bщlsa, u holda bu funksiyaning hosilasini izlash uchun
oldin logarifmlash amali, so‘ngra esa differensiallash amalini
qo‘llash mumkin.
Bu usulni logarifmik differensiallash deyiladi. Logarifmik differensiallash usulinn ko‘rsatkichli va darajali funksiyalarning hosilalarini topishga qo‘llaymiz.
3. Darajali funksiyaning hosilasi. (u^)' =  u^ ' ekanini
isbotlaymiz, bunda u = (x) differensiallanuvchi (R).
u = u^ funksiyani qaraimiz. Uni logarifmlab, ushbuga ega bo‘lamiz:
lny = 1nu.
u ni x ning funksiyasi deb hisoblab, tenglikning ikkala qismini x bo‘yichd diffgrensiallaymiz Bundan:

SHunday qilib, (u^)' =  u^-1 u'. SHu bilan formula isbotlanadi, xususan, da ushbuga egamiz: da ushbuga egamiz:
4. Ko‘rsatkichli funksiyaning hosilasi. (a^u)' = a^u ln  u ekanini
isbotlaymiz, bunda u = (x) differensiallanuvchi funksiya (a>0,
a1). u = a^u funksiyani oldin logarifmlaymiz, so‘ngra x bo‘yicha
diffargnsiallab, ushbuga ega bo‘lamiz: .
Oxirgi tenglikdan u' ni topamiz:
u' = u a^u ln  u' yoki u' = (a^u)' = a^u ln  u'.
Formula isbotlandi.
Xususiy holda, agar a = e bo‘lsa, u holda 1ne = 1, shunday qilib, (e^u)' = e^u-u' tenglikka ega bo‘lamiz.
1-misol. u = e^x' funksiya berilgan. u' ni toping
u' = e^x3  (x³)' = 3x²e ^x2
5. Ko‘rsatkichli-darajali funksiyaning hosilasi. Asosi ham
darpja ko‘rsatkichi ham x ning funksiyasi bo‘lgan, ya’ni u = u⁰ ko‘rinishdagi (bunda u = (x) va v=(x)) funksiya ko‘rsatkichlidarajali funksiya deyiladi.
(u^v)' = vu^v-1  u' + u^v lnu  v' ekanini isbotlaymiz. u = u^v funksiyani logarifmlaymiz:
lnu = v 1nu.
Hosil bo‘lgan tenglikni x bo‘yicha differensiallaymiz:

bundan ushbuga ega bo‘lamiz:

u o‘rniga u = u ni qo‘yib, almashtirishlarnp bajarib, ushbuga ega bo‘lamiz:
(u^v)' = vu^v-1  u' + u^v lnu  v'
Formula isbotlandi.
SHunday qilib, ko‘rsatkichli-darajali funksiyaning hosilasi ikki qo‘shiluvchidan iborat: u^v — darajali funksiya deb faraz qilinsa, birinchi qo‘shiluvchi, u^v — ko‘rsatkichli funksiya deb faraz qilinsa, ikkinchi qo‘shiluvchi hosnl bo‘ladi.
2-misol. u = (x²+ 1)^x2-1 funksiya berilgan. u' ni toping.