Funksiyaning uzluksizligi

2. Yig‘indi, ko‘paytma va bo‘linmaning hosilasa.
2-teorema. Agar i(x) va v(x) funksiyalar x₀ nuqtada dif-
feferensiallanuvchi bo‘lsa, u holda ularning algebraik yig‘indisi, ko‘paytmasi va bo‘linmasi (maxraji nolga teng bo‘lmasa) ham shu nuqtada differensiallanuvchidir.
Bunda hosilalar ushbu formulalar bo‘ykcha topiladi:
a) (u± v)' = u' ±v',
b) =u'v+v'
v) = .
I s b o t i. (bo‘linma uchun). y =f (x)'= bO‘lsin, bu erda x₀ qiymat x orttirma olganida i va v funksiyalar va u orttirmalar, u funksiya esa Au orttirma oladi. Au orttir-mani qaraylik:
y = f(x₀ + x)-f(x₀) =


u(x) va funksiyalarning differensiallanuvchanligiga asosan:

Demak,
,
shunday qilib,
eki
a) va b) formulalar ha.m shunga o‘xshash isbotlanadi.
Bu teorema qo‘shiluvchilar yoki ko‘paytuvchilar istalgan chekli son bo‘lganida ham to‘g‘ri bo‘ladi.
Funksiyaning xosilasi.Hosilalar jadvali
u = u(x), v = v(x) — differensiallanuvchi funksiyalar deb hicoblaymiz.
1.. Asosiy elementar va giperbolik funksiyalar hosilalari jadvalini tuzamiz:

1. 
   S = 0; S — const.
   
2. 
   x' =1, x — erkli o‘zgaruvchi.
   
3. 
   (u^)' =  u^-1u', a — sonst.
   
4. 
   Xususiy holda .
   
5. 
   Xususiy holda .
   
6. 
   (^u)' = a^ulnau', a — sont, a > 0, a  1.
   
7. 
   Xususii holda (1/u)' =-1/u² u'.
   
8. 
   (u^v)' = vu^ulnau' +u^v ln uv.
   
9. 
   
   
10. 
    Xususiy holda (1nu)' = 1/uu'.
    
11. 
    (sinu)' = sos u  u'.
    
12. 
    (sos u)' = —sin u  u'.
    
13. 
    
    
14. 
    
    
15. 
    
    
16. 
    
    
17. 
    
    
18. 
    
    
19. 
    (shu)' = chu  u'.
    
20. 
    (chu)' = shu  u'.
    
21. 
    
    
22. 
    
    

2. Differensiallesh qoidalarini tuzamiz:

1. 
   (u± v)' = u' ± v'.
   
2. 
   (u-v)' = u' u + v'-u.
   
3. 
   (S u') = S u', S —sonst.
   
4. 
   
   

5) Agar u — f(u), u = u (x), ya’ni u = f(u(x)) bo‘lsa, u holda
y' = y' u.
6) Agar u = f(x) va x = u() o‘zaro teskari funksiyalar bo‘lsa,
y holda

M i s o l. ning hosilasini toping.