G. ahmedova, I. Xolbayev

5.5-§. Bir o‘lchamli potensial o‘radagi zarra 
 
Shredinger 
tenglamasi 
asosida 
kvantlash 
to‘g‘riburchak 
shaklidagi 
bir 
o‘lchamli 
simmetrik 
“potensial  o‘ra”  misolida  tushuntiriladi. 
U(x) 
potensial 
funksiya 
–
α
<x<+
α
 
intervalda U
0
 doimiy qiymatga ega bo‘ladi 
va  bu  intervaldan  tashqarida  nolga 
aylanadi  (5.1-rasm).  Bunday  hol  uchun 
Shredinger tenglamasining aniq  yechimini 
hosil  qilish  va  shu  asosda  energiyaning 
kvantlanishini qarab chiqish mumkin. 
Cheksiz 
chuqur 
potensial 
o‘rani 
ko‘raylik.  Bunda  U
0
  kattalik  cheksizga 
aylanadi.  Bunday  holda  potensial  funksiyaning  nol  qiymati  uchun, 
uning  potensial  o‘ra  tubidagi  qiymati,  ya’ni  –
α
<x<+
α
  intervaldagi 
qiymati  olinadi.  Bu  vaqtda  o‘raning  devorlarida  (ya’ni  x=±a 
bo‘lganda)  0  dan  +
∞
  bo‘lgan  oraliqda  U(x)  funksiyada  uzilish 
bo‘ladi.  Bunday  potensial  o‘ra  5.2-rasmda  keltirilgan.  Chekli 
chuqurlikka  ega  bo‘lgan  potensial  o‘ra  holidan  cheksiz  chuqur 
potensial o‘ra holiga o‘tishdagi matematik soddalashtirish, –
α
<x<+
α
 
oraliqdan  tashqarida  U  funksiya  cheksiz  katta  bo‘lganda 
ψ
  funksiya 
nolga  aylanishi  bilan  bog‘liqdir.  Haqiqatdan  ham  klassik  fizikaga 
asosan,  oxirgi  energiyasi  E  bo‘lgan  zarra  U(x)=+
∞
  bo‘lgan  sohaga 
o‘ta  olmaydi.  Kvant  mexanikasida 
bunday  holat  ehtimoliyat  zichligi 
ψ
*
ψ
  va  funksiyani  o‘zi 
ψ
  ning 
nolga 
aylanishi 
talabi 
bilan 
almashtiriladi. 
Shunday 
qilib, 
Shredinger 
tenglamasining  yechimini  faqat  –
α
<x<+
α
  oraliqda  ko‘rib  chiqish 
yetarli  bo‘ladi.  –
α
<x<+
α
  oraliq 
ichida U(x)=0. 
U  vaqtda  bir  o‘lchamli  holat 
uchun yozilgan 
5.1-rasm 
 
5.2-rasm 
 
154
0
)
(
2
2
2
=
−
+
⋅
ψ
ψ
U
E
dx
d
m
h
 
Shredinger tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz: 
0
2
2
2
=
+ ψ
ψ
k
dx
d
. 
 
 
(5.73) 
Bunga quyidagi belgilash kiritilsin: 
2
2
/
2
h
mE
k
=
 
 
 
(5.74) 
k  ning  musbat qiymatlari bilan  chegaralanamiz. (5.73) tenglamaning 
umumiy yechimi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: 
kx
B
kx
А
sin
cos
+
=
ψ
 
O‘raning x=
±
a devorlarida 
ψ
=0 bo‘lishi kerak. U vaqtda  
α
+
=
x
 bo‘lganda 
0
sin
cos
=
+
α
α
k
B
k
A
  
α
−
=
x
 bo‘lganda 
0
sin
cos
=
−
α
α
k
B
k
A
 
(5.74a)  
Agar  A
≠
0  bo‘lsa,  Acosk
α
=0,  demak,  cosk
α
=0  va  sink
α≠
0,  B=0. 
Aksincha, agar B
≠
0 bo‘lmasa, Bsink
α
=0, demak, sink
α
=0; cosk
α≠
0, 
A=0.  Shunday  qilib,  (5.73)  tenglamaning  barcha  yechimlari  ikki 
qismga ajraladi: 
1.
 
Juft funksiyalar bilan 
,...
2
5
,
2
3
,
2
,
cos
π
π
π
α
ψ
=
=
k
kx
А
 
2.
 
Toq funksiyalar bilan 
,...
2
6
,
2
4
,
2
2
,
sin


















=
=
π
π
π
α
ψ
k
kx
B
 
Ikkinchi  holda  k
α
=0  bo‘lishi  mumkin  emas,  chunki  bunda 
ψ
=0 
bo‘lishi  kerak,  bu  esa  fizik  ma’noga  ega  bo‘lmaydi.  A  va  B 
doimiyliklar quyidagi normalash sharti 
∫
+
−
=
a
a
dx
0
2
ψ
 
orqali aniqlanadi. 
U vaqtda: 

 
155






−
−
=
lganda
bo'
juft 
;
2
sin
1
lganda
bo'
 
toq
;
2
cos
1
n
x
n
a
n
x
n
a
π
π
ψ
 
(5.75) 
Har  ikkala  holda  k=n
π
/2a,  n  ning  har  qanday  butun  qiymati 
uchun: 
,...)
3
,
2
,
1
(
8
2
2
2
2
2
=
=
⋅
=
n
n
ma
k
m
E
π
h
h
, 
(5.76) 
(5.76)  formula  energiyaning  kvantlanganligini  ko‘rsatadi.  Energetik 
sathlar ham diskret, U=+
∞
 da ularning soni cheksiz katta, chunki n=0 
bo‘lgan  sath  bo‘lmaydi.  Shuning  uchun  eng  pastki  sathning 
energiyasi  ħ
π
2
/8ma
2 
kattalikka  teng.  Energiyaning  bu  qiymati 
nolinchi  energiya  bo‘ladi.  Yuqorida  keltirilgan  yechimga  qarshi 
quyidagi  inkorni  ko‘rish  mumkin.  Potensial  funksiya  U(x)ning  har 
qanday  uzilishi  sirtlarida  quyidagi  chegaraviy  shartlar  bajarilishi 
kerak: 








+
=
−
+
=
−
dx
x
d
dx
x
d
x
x
)
0
(
)
0
(
),
0
(
)
0
(
2
1
2
1
ψ
ψ
ψ
ψ
.   
(5.77) 
ψ
1
(x)  – 
ψ
(x)  funksiyaning  uzilish  sirtining  bir  tomoni, 
ψ
2
(x)  – 
ikkinchi  tomoni.  Qaralayotgan  holda  –a<x<+a  oraliq  ichida 
ψ
=
ψ
1
 
ekanligi  (5.74a)  formulalar  bilan  ifodalangan.  Bu  intervaldan 
tashqarida  esa 
ψ
=
ψ
2
=0.  Shunday  qilib,  potensial  o‘ra  devorlarida 
ψ
(x)  funksiyaning  birinchi  hosilasi  uzluksizlikning  uzilishiga  ega 
bo‘ladi. Lekin 
ψ
(x) funksiyani qanoatlantiradigan talabalarga bo‘lgan 
bunday 
qarama-qarshilik 
chegaraviy 
qiymatlarga 
matematik 
o‘tishlardagina  hosil  bo‘ladi  va  qarama-qarshilikdek  ko‘rinadi. 
Haqiqiy  holatlarda  esa  potensial  o‘ra  chuqurligi  U
0
  cheklidir,  lekin 
katta  qiymatga  ega  bo‘lishi  mumkin.  Bunday  holda  devor  yaqinida 
undan  har  ikki  tomonda 
ψ
(x)  va  d
ψ
/dx  noldan  farqli  va  (5.77)  shart 
qat’iy  bajariladi.  Lekin  cheksiz  chuqur  o‘ra  chegarasiga  o‘tganda, 
chegaraviy 
qiymatlarda  bu  shartlar  bajarilmasligi 
mumkin. 
Haqiqatdan  ham  (5.77)dagi  munosabatlardan  quyidagi  chegaraviy 
munosabatlarning bajarilmasligi ko‘rinadi.  
 
156
)
0
(
lim
)
0
(
lim
2
1
+
=
−
x
х
ψ
ψ
, 
)
0
(
lim
)
0
(
lim
2
1
+
=
−
x
dx
d
x
dx
d
ψ
ψ
 
Topilgan  yechim  U
0
  ning  katta  qiymatida  real 
ψ
(x)ga  tegishli 
bo‘lmay,  balki  U
0
→∞
  da  uning  chegaraviy  qiymatiga  tegishlidir. 
Chekli  chuqurlikka  ega  bo‘lgan  potensial  o‘rani  ko‘raylik.  O‘radan 
tashqarida potensial funksiya nolga teng. O‘ra ichida esa U(x)=U
0
<0. 
Koordinata boshi orasida o‘ra tagining markazi olinadi. Dastlab to‘liq 
energiya  E  manfiy  bo‘lgan  holni  ko‘rish  mumkin,  bunda  U
0
<E<0. 
Belgilashlar kiritiladi: 




−
+
=
−
+
=
2
2
0
/
2
/
)
(
2
h
h
mE
U
E
m
k
α
. 
 
(5.78) 
U vaqtda o‘ra ichida Shredinger tenglamasini quyidagicha yozish 
mumkin: 
0
2
2
2
=
+ ψ
ψ
k
dx
d
. 
 
 
(5.79)  
O‘radan tashqarida esa 
0
2
2
2
=
− ψ
ψ
a
dx
d
 
 
 
(5.80) 
(5.79) tenglamasining umumiy yechimi: 
kx
B
kx
A
sin
cos
+
=
ψ
, 
 
(5.81) 
(5.80)  tenglamaning  yechimi  esa  e
±α
x
  bo‘ladi.  Bunda  shunday 
ishorani  tanlash  kerakki,  x=
±∞
  da  yechim  nolga  aylansin.  Shunday 
qilib, o‘radan tashqarida  
x>a bo‘lganda   
x
Ce
α
ψ
−
=
  
x<–a bo‘lganda  
x
De
α
ψ =
 
bo‘ladi. 
Simmetriklik  xossasidan  ko‘rinadiki,  ehtimoliyat  zichligi 
|ψ|
2
 
koordinata  boshiga  nisbatan  x  ning  simmetrik  funksiyasi  bo‘lishi 
kerak.  Bundan  C
2
=D
2
,  ya’ni  ikkita  holat  bo‘lishi  mumkin:  C=D  va 
C=–D.  A,B,C,D  doimiyliklarni  shunday  tanlash  kerakki,  o‘raning 
chegarasida 
ψ
  funksiya  va  uning  hosilasi  d
ψ
/dx  uzluksiz  bo‘lishi 
kerak. Chegarada x=+a, bunday bo‘lishligidan: 

 
157
α
a
Ce
ka
B
ka
A
−
=
+
sin
cos
 
α
α
a
Ce
ka
kB
ka
kA
−
=
+
−
cos
sin
 
chegarada x=–a  
α
a
De
ka
B
ka
A
−
=
−
sin
cos
 
α
α
a
De
ka
kB
ka
kA
−
=
+
cos
sin
 
Bundan: 
α
a
e
D
C
ka
A
−
+
=
)
(
cos
2
 
α
α
a
e
D
C
ka
kA
−
+
=
)
(
sin
2
 
α
a
e
D
C
ka
B
−
−
=
)
(
sin
2
 
α
α
a
e
D
C
ka
kB
−
−
−
=
)
(
cos
2
 
Agar A
≠
0 va C=D bo‘lsa, u vaqtda  
α
=
ka
k tg
 
 
 
(5.82) 
Agar B
≠
0 va C=–D bo‘lsa, u vaqtda 
α
−
=
ka
kctg
   
 
(5.83) 
Bu  shartlar  bir  vaqtda  qanoatlantirilmaydi.  Qanoatlantirilganda 
k
2
=–
α
2 
bo‘lishi  kerak  edi,  bu  esa  mumkin  emas.  A,B,C,D 
koeffisiyentlar nolga teng bo‘lgan holdagi yechim fizik ma’noga ega 
bo‘lmaydi.  Bo‘lishi  mumkin  bo‘lgan  barcha  yechimlar  ikki  guruhga 
bo‘linadi:  A
≠
0,  B=0,  C=D  bo‘lgandagi  juft  to‘lqin  funksiyali 
yechimlar  va  A=0,  B
≠
0,  C=–D  bo‘lgandagi  toq  to‘lqin  funksiyali 
yechimlar.  Energiya  sathlari  (5.82)  yoki  (5.83)  tenglamalarning 
grafik  yoki  son  qiymati  orqali  yechilishidan  kelib  chiqadi.  Energiya 
sathlari  (5.82)  yoki  (5.83)  formulalarni  grafik  yoki  sonlar 
ko‘rinishidagi  yechimlaridan  hosil  qilinadi. 
α
  va  k  lar  (5.78)dagi 
ifodalar  orqali  topilpdi.  Grafik  holda  yechish  uchun  o‘lchamsiz 
kattaliklar kiritamiz: 
α
η
ξ
a
аk
=
=
;
  
 
 
(5.84) 
U holda  
2
2
0
2
2
/
2
h
a
mU
−
=
+η
ξ
, 
 
(5.85) 
juft to‘lqin funksiyali yechimlar uchun (5.82) formuladan 
ξ
ξ
η
tg
=
 
 
 
 
(5.86) 
toq to‘lqin funksiyali yechimlar uchun (5.83) formuladan 
ξ
ξ
η
сtg
−
=
   
 
 
(5.87) 
 
158
5.3a-rasmda 
η
=
ξ
tg
ξ
  va  5.3b-rasmda 
η
=–
ξ
ctg
ξ
  kattaliklar  egri 
chiziqlari keltirilgan.  
 
5.3-rasm 
 
Vertikal punktir chiziqlar bilan bu egri chiziqlarning asimtotalari 
ko‘rsatilgan. 
ξ
  va 
η
  kattaliklar  musbat  bo‘lgani  uchun  egri 
chiziqlarning  faqat  (
ξ
>0, 
η
>0)  musbat  kvadratda  bo‘lgan  qismi 
ahamiyatlidir.  Bu  egri  chiziqlarni  (5.85)  formula  hosil  qiladigan 
aylana  bilan  kesib  o‘tamiz.  Aylana  radiusi 
h
/
2
0
а
mU
−
  aniq  deb 
hisoblanishi  kerak,  chunki  U
0
  va  a  kattaliklar  aniq  kattaliklardir.  Bu 
aylananing  (5.86)  va  (5.87)  formulalar  bilan  ifodalangan  egri 
chiziqlar  bilan  kesishish  nuqtalari  koordinatalari 
ξ
  va 
η
  larning 
mumkin  bo‘lgan  qiymatlariga  teng  bo‘ladi.  Demak,
 
k  va 
α
  ham 
aniqlanadi.  U  vaqtda  (5.78)  formula  orqali  energiya  E  ni  osonlikcha 
aniqlash  mumkin.  Sathlar  soni  chekli  bo‘lib,  potensial  o‘raning  –U
0
 
chuqurligi  va  2a  kengligi  bilan  aniqlanadi.  Masalan,  aylananing 
radiusi  7  bo‘lsa,  5  ta  sath  hosil  bo‘ladi.  1,3,5  kesishish  nuqtalariga 
juft, 2, 4 larga esa toq to‘lqin funksiyalari to‘g‘ri keladi. Agar 0
≤
–U
0
 
a
2
≤
ħ
2
π
2
/(8m)  bo‘lsa,  faqat  bitta  kesishish  nuqtasi  bo‘ladi,  chunki  k 
kattalik  noldan farq qiladi. U vaqtda (5.78) formulada E>U
0
. Barcha 
energetik  sathlar,  jumladan,  eng  pastki  sath  ham  potensial  o‘ra 
tagidan  yuqorida  yotadi.  Topilgan  yechim  nolinchi  energiyaning 
bo‘lishi zarurligini ko‘rsatadi. E>0 bo‘lgan holni qarab chiqaylik. Bu 

 
159
vaqtda 
α
  kattalik  eng  kichik  bo‘ladi. 
α
=i
β
  bo‘lsa,  (5.80) 
tenglamaning o‘rniga quyidagi tenglama hosil bo‘ladi: 
0
2
2
2
=
+ ψ
β
ψ
dx
d
 
 
 
(5.88) 
Bu tenglamaning yechimi: 
lganda
bo'
sin
'
cos
'
a
x
x
B
x
A
+
>
+
=
β
β
ψ
  
(5.89) 
lganda
bo'
sin
"
cos
"
a
x
x
B
x
A
−
<
+
=
β
β
ψ
 
(5.90) 
x  ning  istalgan  qiymatida  har  ikki  yechim  chekli  bo‘ladi  va  ularda 
to‘rtta  ixtiyoriy  doimiylar  A',  B',  A",  B"  lar  qatnashadi.  Bu 
yechimlarni  –a<x<+a  intervaldagi  (5.81)  formula  yechim  bilan 
birlashtirish  mumkin.  Lekin  bu  vaqtda  potensial  o‘raning  har  ikki 
devorida 
ψ
  va  d
ψ
/dx  kattaliklar  uzluksiz  bo‘lishi  kerak.  Bunday  A', 
B',  A",  B"  koeffisiyentlarga  nisbatan  to‘rtta  chiziqli  tenglama  hosil 
bo‘ladi.  Tenglamalar  A  va  B  parametrlarga  ega  bo‘ladi.  Bu  esa 
noma’lum  koeffisiyentlarni  A  va  B  lar  orqali  ifodalash  uchun 
yetarlidir.  A  va  B  lar  istalgan  qiymatlarni  qabul  qilishi  mumkin. 
Bundan  esa  quyidagi  xulosa  kelib  chiqadi:  E>0  bo‘lganda  energiya 
kvantlanmaydi,  energetik  spektr  uzluksiz  bo‘ladi.  To‘lqin  funksiyasi 
x
→±∞
  da  nolga  intilmaydi,  ya’ni  zarra  harakati  infinit,  umumiy 
nazariya ham shuni talab qiladi.  
 
5.6-§. Zarralarning potensial to‘siqdan o‘tishi. 
Tunnel effekti 
 
Zarraning bir o‘lchovli harakatining muhim hollaridan biri, uning 
potensial  to‘siqdan  o‘tishidir.  5.4-rasmda  keltirilgan  potensial  o‘rani 
ko‘rib  chiqish  mumkin.  m 
massali  zarra  x  o‘qi  yo‘nali-
shida 
harakatlanayotgan 
bo‘lsin. Rasmda x o‘qi I, II, III 
sohalarga  bo‘lingan.  a<x<b 
sohada 
potensial 
energiya 
noldan  farq  qiladi.  Kengligi 
ab  va  balandligi  U
0
  bo‘lgan 
a<x<b  soha  potensial  to‘siq 
deyiladi. 
Zarra 
x 
o‘qi 
yo‘nalishida  harakatlanishida 
5.4-rasm 
 
160
potensial  to‘siqqa  duch  kelsin  (5.4-rasm).  Agar  zarraning  to‘liq 
energiyasi E to‘siq balandligi U
0
 dan katta, ya’ni E>U
0
 bo‘lganda (U
0
 
– potensial energiya) klassik mexanika tushunchalariga asosan zarra, 
albatta, I sohadan II sohaga o‘tadi, ya’ni potensial to‘siq ichiga kiradi 
va o‘zining kamaygan E-U energiyasi bilan potensial to‘siq ichida (II 
sohada)  harakatini  davom  ettiradi. II sohada faqat o‘tayotgan to‘lqin 
tarqaladi.  Bunda  zarra  potensial  to‘siq  orqa  tomonidagi  III  sohaga 
o‘ta  oladi  va  potensial  o‘radan  chiqib  ketadi,  qaytmaydi.  Agar 
zarraning  to‘liq  energiyasi  E  potensial  to‘siq  balandligi  U
0
  dan 
kichik,  ya’ni  E<U
0
  bo‘lsa,  klassik  mexanika  bo‘yicha  zarraning  bir 
sohadan  ikkinchi  sohaga  o‘tishi  mumkin  emas.  Lekin  kvant 
mexanikasida tunnel effekti deb ataladigan hodisaga asosan zarraning 
to‘liq  energiyasi  E  potensial  to‘siq  balandligi  U
0
  dan  kichik 
bo‘lganda,  ya’ni  E<U
0 
  bo‘lganda  ham  mikrozarraning  II  sohada 
topilishi  aniq  ehtimoliyatga  ega  bo‘ladi.  x  ning  ortishi  bilan  bu 
ehtimoliyat  eksponensial  kamaya  boradi,  lekin  noldan  farq  qiladi. 
Tunnel effektini tushunish uchun kvant mexanikasida potensial to‘siq 
shaffofligi  D  degan  tushuncha  kiritiladi.  D  –  to‘siqqa  tushayotgan 
elektronlar  to‘lqinlari  intensivligining  to‘siqdan  o‘tadigan  qismini 
xarakterlaydigan  kattalik.  Mikrozarralarning  klassik  fizikaga  zid 
bo‘lgan, ya’ni E<U
0 
 bo‘lgan holda ham to‘siqdan o‘tishi Shredinger 
tenglamasining  yechimidan  kelib  chiqadi.  Rasmda  a<x<b  sohada 
Shredinger tenglamasining yechimi bo‘lgan 
ψ
 funksiya noldan farqli 
qiymatlarga  ega  bo‘ladi.  Zarraning  to‘siq  ichida  topilishining 
ehtimoliyati  esa  to‘lqin  funksiyasi  amplitudasining  kvadratiga 
proporsionaldir. Shuning uchun  mikrozarrani to‘siq ichida ham qayd 
qilish  ehtimoliyati  mavjud,  uning  potensial  to‘siqdan  o‘tish 
ehtimoliyati noldan farq qiladi.  
Demak,  to‘liq  energiyasi  E  bo‘lgan  zarra  U
0
  balandligi  E  dan 
katta  bo‘lgan  potensial  to‘siqqa  tushsa,  ya’ni  E<U
0
  bo‘lganda 
zarraning potensial to‘siqdan o‘tishi chekli ehtimoliyatga ega bo‘ladi. 
Zarralarning  potensial  to‘siq  orqali  sizib  o‘tishi  tunnel  effekti 
deyiladi.  Tunnel  effekti  faqat  kvant  mexanikasi  nuqtai  nazaridan 
tushuntiriladi. 
Zarralarning 
potensial 
to‘siqdan 
o‘tishi 
ehtimoliyatini 
quyidagicha hisoblash mumkin (5.4-rasm). 
I, II, III sohalarda potensial  energiya qiymatlari (potensial to‘siq 
balandligi) quyidagicha: 

 
161




>
<
<
<
<
=
sohada
,
0
sohada
,
sohada
0
,
0
)
(
0
b
x
b
x
a
U
a
x
x
U
 
 
(5.91) 
I,  II,  III  sohalarda  zarralarning  to‘lqin  funksiyalari 
ψ
I
, 
ψ
II
, 
ψ
III
 
bo‘lsin.  Har  bir  soha  uchun  Shredinger  tenglamasi  quyidagi 
ko‘rinishda yoziladi: 









=
=
−
ΙΙΙ
=
=
+
−
ΙΙ
=
=
−
Ι
ΙΙΙ
ΙΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
Ι
Ι
0
bunda
2
:
sohada
bunda
2
:
sohada
0
bunda
2
:
sohada
0
2
2
2
0
2
2
2
0
2
2
2
U
E
dx
d
m
U
U
E
U
dx
d
m
U
E
dx
d
m
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
h
h
h
 (5.92) 
2
1
K
  va 
2
2
K
  belgilashlar  kiritib,  bu  tenglamalarni  quyidagicha 
yozish mumkin: 
E
m
K
2
2
1
2
h
=
    
 
(5.93) 
va 
2
2
2
)
(
2
h
E
U
m
K
−
=
  
 
(5.94) 
U vaqtda  









=
+
ΙΙΙ
=
−
ΙΙ
=
+
Ι
ΙΙΙ
ΙΙΙ
ΙΙ
ΙΙ
Ι
Ι
;
0
:
sohada
;
0
:
sohada
;
0
:
sohada
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
K
dx
d
K
dx
d
K
dx
d
   
(5.95) 
Bu tenglamalarning yechimlari quyidagi funksiyalardir: 
 
162





+
=
ΙΙΙ
+
=
ΙΙ
+
=
Ι
−
ΙΙΙ
−
ΙΙ
−
Ι
;
:
sohada
;
:
sohada
;
:
sohada
1
1
2
2
1
1
6
5
4
3
2
1
x
ik
x
ik
x
k
x
k
x
ik
x
ik
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
e
C
ψ
ψ
ψ
 
(5.96) 
Bu  yechimlarda  C
1
,C
2
,C
3
,C
4
,C
5
,C
6
  lar  har  bir  to‘lqinga  tegishli 
bo‘lgan amplitudalardir. Ular quyidagicha aniqlanadi: 
C
1
 – potensial to‘siqqa chapdan tushayotgan to‘lqin amplitudasi; 
C
2
 – I sohaga qaytgan to‘lqin amplitudasi; 
C
3
  –  II  sohaga  (potensial  to‘siq  ichiga)  o‘tgan  to‘lqin 
amplitudasi; 
C
4
 – potensial to‘siqqa (b nuqtadan) qaytgan to‘lqin amplitudasi; 
C
5
  –  potensial  to‘siqdan  III  sohaga  o‘tib,  cheksizlikka  ketgan 
to‘lqin amplitudasi; 
C
6
 – III sohaga qaytgan to‘lqin amplitudasi. 
C
6
  –  mavjud  bo‘lmagan  to‘lqin,  chunki  to‘lqin  cheksizlikdan 
qaytmaydi, shuning uchun C
6
=0. 
(5.95) ifodadagi differensial tenglamalarning (5.96)da keltirilgan 
xususiy  yechimlari  I  va  II  sohadagi  de-Broyl  yassi  to‘lqinlarini 
ifodalaydi  (mikrozarralar  harakati  de-Broyl  yassi  to‘lqini  sifatida 
namoyon  bo‘ladi).  Xususiy  yechimlar 
x
ik
e
1
±
  va 
x
ik
e
2
±
  ko‘rinishga 
ega.  Bunda 
x
ik
e
1
  yechim  x  o‘qi  yo‘nalishida  chapdan  o‘ngga 
borayotgan  to‘lqin, 
x
ik
e
1
−
  esa  qaytayotgan  to‘lqinga  tegishli.  Xuddi 
shunday, 
x
ik
e
2
±
 yechim  ham borayotgan  va  qaytayotgan to‘lqinlarga 
tegishli. Rasmda keltirilgan I, II, III sohalarda qarab chiqilgan 
ψ
I
, 
ψ
II
, 
ψ
III
 – to‘lqin funksiyalari x o‘qining har bir nuqtasida uzluksiz va bir 
qiymatli holda aniqlanadi. Bu esa to‘lqin tenglamasini yechish orqali 
turli  amplitudalarni  zarralarning  energiyasi,  potensial  to‘siq 
balandligi, uning kengligi orqali ifodalashga imkon beradi.  
To‘lqin funksiyasi bilan bog‘liq bo‘lgan  ehtimoliyat zichligi shu 
funksiyaning  amplitudasi  kvadratiga  proporsional  bo‘lgani  uchun 
potensial  to‘siqning  shaffoflik  koeffisiyentini  quyidagicha  aniqlash 
mumkin: 
2
1
2
5
C
C
D
=
 
 
 
(5.97) 

 
163
Xuddi  shunday,  to‘siqdan  qaytgan  va  unga  tushgan  to‘lqinlar 
amplitudalarining modullari kvadratlarining nisbati aniqlanadi: 
2
1
2
2
C
C
R
=
 
 
 
(5.98) 
(5.97)  va  (5.98)  formulalarda  D  –  zarralarning  II  sohaga  o‘tish 
yoki  potensial  to‘siqdan  o‘tish  ehtimoliyatidir;  R  –  zarralarning 
sohalar chegarasida qaytish ehtimoliyatidir.  
Yuqoridagi 
ψ
I
, 
ψ
II
, 
ψ
III
 yechimlar  va ularning  hosilalarining x=a 
va x=b nuqtalarda teng bo‘lishi shartidan C
1
,C
2
,C
3
,C
4
,C
5
 amplitudalar 
uchun  tenglamalar  tizimi  kelib  chiqadi.  Bu  tenglamalar  yordamida 
C
5
,C
1
,C
2
 amplitudalar nisbatlarini aniqlash mumkin. Bunda shaffoflik 
koeffisiyentining  to‘siq  parametri  bilan  bog‘lanishi  hosil  bo‘ladi. 
Bunday  bog‘lanishni  topishda  matematik  amallarni  keltirmasdan 
fizikaviy  mulohazalar  yordamida  shaffoflik  koeffisiyenti  D  ning 
ifodasini yozish mumkin bo‘ladi.  
Potensial to‘siqning  x=a  devoriga chapdan kelib tushgan 
x
ik
e
C
1
1
 
to‘lqinning 
intensivligi 
to‘siq 
ichida 
x
k
e
2
−
 
ko‘rinishidagi 
eksponensial  qonun  bo‘yicha  kamayadi,  to‘siqning  x=b  bo‘lgan 
ikkinchi devoriga bu to‘lqin intensivligi dastlabki qiymatiga nisbatan  
)
(
2
~
a
b
k
e
C
−
−
   
 
(5.99) 
marta susayib yetib keladi. U vaqtda potensial to‘siq orqa tomonidagi 
(potensial  to‘siqdan  III  sohaga  o‘tgan)  zarralarning 
ψ
  funksiyasi 
potensial  to‘siqning  oldi  (I  sohadagi)  zarralarning 
ψ
  funksiyasidan 
)
(
2
a
b
k
e
−
−
  ko‘paytuvchi  bilan  farq  qiladi.  Zarraning  topilish 
ehtimoliyati  to‘lqin  funksiyasi  kvadrati  bilan  aniqlanadi.  Shuning 
uchun  potensial  to‘siq  orqa  tomonidagi  zarralar  zichligi  to‘siq  oldi 
tomonidagi  zarralar  zichligidan  quyidagi  ko‘paytuvchi  bilan  farq 
qiladi: 






−
−
−
=
=
−
−
)
(
)
(
2
2
exp
2
)
(
2
2
a
b
E
U
m
e
D
a
b
k
h
 
(5.100) 
Bu  formulada  D  –  potensial  to‘siqning  shaffoflik  koeffisiyenti 
deyiladi  va  zarraning  potensial  to‘siqdan  o‘tish  ehtimoliyatini 
bildiradi. Bunday hodisa tunnel effekti deyiladi. 
 
164
Shunday  qilib,  qaralayotgan  to‘g‘ri  burchakli  potensial  to‘siq 
uchun shaffoflik koeffisiyenti  
)
(
)
(
2
2
0
a
b
E
U
m
e
D
−
−
−
≈
h
   
(5.101) 
Ixtiyoriy shakldagi potensial to‘siq uchun shaffoflik koeffisiyenti 
quyidagicha aniqlanadi: 
∫
≈
−
−
2
1
)
(
2
2
x
x
dx
E
U
m
e
D
h
 
 
(5.102) 
bu  formulada  x
1
  va  x
2
  E  energiyaga  to‘g‘ri  keladigan  U=U(x) 
funksiya bilan potensial to‘siqning koordinatalari. 
Energiyasi  E  bo‘lgan  zarra  balandligi  E  dan  kata,  ya’ni  E<U(x) 
bo‘lgan  potensial  to‘siqqa  kelib  tushsa,  zarraning  o‘tishi  chekli 
ehtimoliyatga  ega  bo‘ladi.  Bu  ehtimoliyat  (5.101)  formula  orqali 
hisoblanadi. 
Demak,  zarra  potensial  to‘siqdan  o‘tishida  o‘z  energiyasini 
yo‘qotmaydi  deb  hisoblanadi.  Zarraning  to‘siqqa  tushguncha 
energiyasi qancha bo‘lsa, to‘siqdan o‘shanday energiya bilan chiqadi. 
Zarralarning  potensial  to‘siqdan  xudi  tunneldan  o‘tgandek  sizib 
o‘tishi tunnel effekti deyiladi.