G. ahmedova, I. Xolbayev

5.7-§. Chiziqli garmonik ossillyator 
 
Chiziqli  garmonik  ossillyator  atom  fizikasida  foydalaniladigan 
muhim modellardan biri hisoblanadi. x o‘qi bo‘ylab kvazielastik F=–
kx  kuch  ta’sirida  harakatlanuvchi  m  massali  zarra  garmonik 
ossillyator  deyiladi.  Garmonik  ossillyatorni  klassik  va  kvant 
mexanikalari asosida qarab chiqish mumkin. 
Klassik  mexanika  tushunchalari  asosida  garmonik  ossillyatorni 
qarab  chiqaylik.  Massasi  m  bo‘lgan  mikrozarra  oddiy  tebranishlarni 
bajarib, muvozanat holatdan x masofaga siljisin (5.5-rasm). Zarra  
F
kx
= −
 
 
 
(5.103) 
kuch  ta’sirida  harakat  qiladi.  Bu  formulada  k  –  doimiylik,  F  – 
elastiklik  kuchi,  zarra 
harakatiga 
teskari 
yo‘nalgan 
bo‘lib, 
zarrani 
dastlabki 
holatiga 
qaytarishga 
 
5.5-rasm  

 
165
harakat qiladi. (5.102) formulani Nyutonning ikkinchi qonuni asosida 
quyidagicha yozish mumkin: 
2
2
d x
m
kx
dt
= −
    
 
(5.104) 
yoki 
2
2
dx d x
m
dt
kxdx
dt dt
⋅
= −
 
Bu tenglamani integrallashdan quyidagi ifoda hosil bo‘ladi: 
2
2
1
1
2
2
m
kx
const
E
ϑ +
=
=
 
 
(5.105) 
(5.105)  formulada  birinchi  had  zarraning  kinetik  energiyasini 
ifodalaydi: 
2
1
2
K
m
ϑ
=
 
 
 
(5.106) 
ikkinchi had esa zarraning potensial energiyasini ifodalaydi: 
2
1
2
U
kx
=
 
 
 
(5.107) 
U  vaqtda  ossillyator  tizimining  to‘liq  energiyasi  quyidagicha 
ifodalanadi: 
K
U
E
const
+ = =
 
 
 
(5.108) 
Energiyaning istalgan aniq bir qiymatida zarra ikki nuqta orasida, 
masalan,  A  (koordinatasi  x=L)  va  A'  nuqta  (koordinatasi  x=–L)lar 
orasida 
m
k
=
ω
  chastota  bilan  garmonik  tebranma  harakat  qiladi. 
Bunda  energiya  E,  x  va 
ϑ
  ga  bog‘liq  bo‘lgan  istalgan  qiymatlarni 
qabul  qilishi  mumkin  bo‘lgani  uchun  uning  olishi  mumkin  bo‘lgan 
qiymatlarining spektri uzluksiz bo‘ladi. 
2
k
m
ω =
 
 
 
(5.109) 
belgilash kiritib, (5.104) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:  
2
2
2
0
d x
x
dt
ω
+
=
 
 
(5.110) 
(5.110) tenglama Shredingerning  
 
166
2
2
2
2
2
( )
2
0;
d
x
mE
dx
ψ
α ψ
α
+
=
=
h
 
 
(5.111) 
to‘lqin 
tenglamasiga 
o‘xshashdir. 
Shuning 
uchun 
(5.110) 
tenglamaning yechimini (5.111)ning yechimi kabi ifodalash mumkin: 
t
i
t
i
Be
Ae
x
ω
ω
−
+
=
 
 
(5.112) 
A  va  B  doimiyliklarni  koordinata  va  tezlikning  dastlabki 
qiymatlaridan  foydalanib  aniqlash  mumkin.  Buning  uchun  Eyler 
formulasi asosida (5.112)dagi yechimni quyidagicha yozish mumkin: 
t
D
t
C
x
ω
ω
sin
cos
+
=
 
 
(5.113) 
(5.113)  ifodada  hosil  qilingan  munosabat  zarraning  holatini 
vaqtga  bog‘liq  ravishda  ifodalaydigan  harakat  tenglamasidir. 
Vaqtning 
istalgan 
qiymatida 
zarraning 
tezligi 
quyidagicha 
ifodalanadi: 
t
D
t
C
dt
dx
ω
ω
ω
ω
ϑ
cos
sin
+
−
=
=
 
 
(5.114) 
zarra t=0 bo‘lgan vaqtda x=L bo‘lgan nuqtada bo‘lsin, u holda uning 
tezligi  ham 
ϑ
=0  bo‘ladi.  t=0  va 
ϑ
=0  bo‘lgan  bunday  boshlang‘ich 
shartlarda  (5.114)  tenglamalarda  C=L  va  D=0  bo‘ladi.  U  vaqtda 
(5.113) va (5.114) tenglamalarni quyidagicha yozish mumkin: 
t
L
t
x
ω
cos
)
(
=
 
 
 
(5.115) 
va 
t
L
t
ω
ω
ϑ
sin
)
(
−
=
. 
 
 
(5.116) 
Endi to‘liq energiyani quyidagicha ifodalash mumkin: 
t
kL
t
mL
E
ω
ω
ω
2
2
2
2
2
cos
2
1
sin
2
1
+
=
  
(5.117) 
zarra  tebranma  harakatida  x=0  bo‘lgan  muvozanat  vaziyatidan 
o‘tganida  maksimal 
ϑ
max
=
ω
L  tezlikka  ega  bo‘ladi.  Bu  vaqtda 
potensial  energiya  nolga  teng,  ya’ni  U=0  bo‘ladi.  Bunday  holda 
zarraning (garmonik ossillyatorning) to‘liq energiyasi 
2
2
2
max
2
1
2
1
L
m
m
E
ω
ϑ
=
=
 
 
(5.118) 
kattalik  bilan  aniqlanadi.  Agar  zarra  A  yoki  A'  chetki  holatlarda 
bo‘lsa,  uning  kinetik  energiyasi  nolga  teng  bo‘ladi,  chunki  tezlik 
ϑ
=0. Bu holda zarraning to‘liq  energiyasi faqat potensial  energiyaga 
teng, ya’ni 

 
167
2
2
max
2
1
2
1
kL
kx
E
=
=
   
 
(5.119) 
Demak,  klassik  mexanikada  chiziqli  garmonik  ossillyator 
muvozanat 
holati 
atrofida 
oddiy 
garmonik 
tebranishlarni 
bajarayotgan  zarra  deb  qaraladi.  Kvant  mexanikasida  garmonik 
ossillyatorni ko‘raylik. Yuqorida klassik mexanikada qarab chiqilgan 
zarrani  kvant  mexanikasi  usullari  yordamida  qarab  chiqish  uchun 
tegishli Shredinger tenglamasi yechimini topish kerak. Bunda to‘lqin 
funksiyasining  x  o‘qda  biror  nuqtada  to‘planmaganligini,  shuning 
uchun  berilgan  vaqtda  zarraning  turgan  joyini  aniqlash  mumkin 
emasligini hisobga olish zarur bo‘ladi. 
ψ
*
ψ
 kattalik zarraning x o‘qda istalgan kichik dx oraliqda zarrani 
topilish ehtimoliyati zichligini bildiradi. Shuning uchun zarraga ta’sir 
etuvchi  kuch  zarraning  joylashishiga  bog‘liq  bo‘lsa  (klassik 
mexanika  holida  qaralgandek,  ya’ni  F=–kx  bo‘lganidek),  kvant 
mexanikasida  garmonik  ossillyatorni  qarab  bo‘lmaydi.  Haqiqatda 
ham  kvant  mexanik  modelda  kuch  o‘z  ma’nosini  yo‘qotadi,  lekin 
impuls  va  energiya  tushunchalari  saqlanadi.  Kvant  mexanikasida 
klassik  mexanikadagidek  ossillyator  uchun  vaqt  funksiyasi  sifatida 
zarraning  holati  va  tezligini  ifodalaydigan  (5.115)  va  (5.116)ga 
o‘xshash  tenglamalarni  hosil  qilib  bo‘lmaydi.  Lekin  ossillyator 
energiyasini  qarash  mumkin,  chunki  energiya  klassik  va  kvant 
mexanikasi 
masalalarida 
koordinata 
funksiyasi 
ko‘rinishdagi 
potensial  energiya  bilan  ifodalanadi.  Klassik  mexanikada  (5.106) 
tenglamadagi potensial energiya ifodasi Nyuton qonuni asosida ta’sir 
etuvchi  kuch  formulasida  chiqariladi.  Kvant  mexanikasida  esa 
potensial energiya 
2
2
1
kx
U
=
 
 
 
(5.120) 
Mexanik  tizimni  xarakterlaydigan  dastlabki  va  asosiy  kattalik 
hisoblanadi.  Bu  hol  kvant  mexanikasida  U(x)  funksiyani  yangicha 
aniqlash  vazifasini  qo‘yadi.  Klassik  mexanikada  zarra  L=x
max
 
maksimal chetlanishga ega va bunda to‘liq potensial energiyaga teng 
degan  tasavvurlar  asosida  (5.119)  tenglama  hosil  qilinadi.  Lekin 
kvant  mexanikada  energiyani  to‘liq  energiya  orqali  ifodalab 
bo‘lmaydi.  Shuning  uchun  funksiyaga  yangi  shartlar qo‘yilsa,  uning 
aniqlanish  sohasi  x=
±∞
  gacha  bo‘ladi.  To‘lqin  funksiyasiga 
 
168
quyidagicha yangi shart qo‘yiladi: x
→±∞
 da 
ψ
(x)
→
0 bo‘lishi  kerak. 
Bunday  holda  zarraning  harakat  manzarasi  avvalgi  klassik 
mexanikadagi  kabi  bo‘lmaydi,  ya’ni  elastik  kuch  ta’sirida  zarraning 
muvozanat  atrofida  tebranadigan 
manzara  bo‘lmaydi.  U(x) 
funksiyaga  yangi  shart  qo‘yilganda,  kvant  mexanikasidagi  manzara 
potensial  chuqurlikdagi  to‘lqinlar  tizimini  eslatadi.  Bu  potensial 
chuqurlik  ichida  yoki  tashqarisida  topilish  ehtimoliyati  va  zarra 
energiyasining  potensial  chuqurlik  shakli  bilan  aniqlanadigan 
mumkin  bo‘lgan  barcha  qiymatlarini  hisoblash  mumkin  bo‘ladi. 
Bunday usulni qandaydir yo‘l bilan hamma tomonidan chegaralangan 
to‘lqinlarga qo‘llash mumkin. Kvant mexanikasida chiziqli garmonik 
ossillyator  qaralganda,  potensial  chuqurlik  ichida  turg‘un  to‘lqinlar 
mavjud  deb  qaraladi.  Demak,  potensial  chuqurlik  ichida  bo‘lishi 
mumkin  bo‘lgan  turli  turg‘un  to‘lqinlarning  xususiy  funksiyalarini 
(
ψ
n
) va ularga tegishli bo‘lgan xususiy energiyalarni (E
n
) topish talab 
qilinadi.  Shunday  qilib,  kvant  mexanikasida  garmonik  ossillyator 
potensial  chuqurlikdagi  turg‘un  to‘lqinlar  tizimidan  iborat  deb 
qaraladi. Chiziqli  garmonik  ossillyatorning  kvant  mexanikasidagi bu 
modelini  turg‘un  to‘lqinlar  energiyasini  istalgan  sondagi  o‘lchashlar 
uchun  umumlashtirish  mumkin.  Agar  potensial  chuqurlik  shakli 
klassik mexanikadagi chiziqli garmonik ossillyator energiyasi 
2
2
1
kx
U
=
 
bilan  aniqlansa,  u  vaqtda  chiziqli  garmonik  ossillyator  uchun 
Shredinger tenglamasi quyidagicha ifodalanadi: 
ψ
ψ
ψ
E
kx
dx
d
m
=
+
⋅
−
2
2
2
2
2
2
h
 
 
(5.121) 
Bu  tenglamaning  yechimini  chiqarish  matematik  jihatdan 
murakkab  bo‘lganligi  va  uni  keltirishga  zarurat  yo‘qligi  tufayli  bu 
tenglamaning  tayyor  holdagi  yechimidan  foydalangan  holda  xususiy 
energiya  va  xususiy  to‘lqin  funksiyasi  qiymatlarini  qarash  mumkin. 
Bir o‘lchamli garmonik  ossillyatorning  mumkin bo‘lgan energiyalari 
qiymatlarini aniqlaydigan formulani quyidagicha yozish mumkin: 
ν
ω
h
n
n
E
n





 +
=





 +
=
2
1
2
1
h
 
 
(5.122) 

 
169
Bunda 
ω
=2
πν
  –  doiraviy  chastota,  n  –  kvant  soni,  n=1,2,3,… 
qiymatlarni qabul qilib, energetik sathlar tartib raqamini ko‘rsatadi.  
(5.122)  formula  orqali  hisoblangan  energiya  qiymatlarining 
spektri  bir-biridan  h
ν
  masofada  joylashgan  energetik  sathlar 
sistemasini  hosil  qiladi.  Energiyaning  eng  kichik  qiymati 
2
0
ν
h
E
=
 
kattalikka, ikki qo‘shni energetik sathlar orasi h
ν
 ga teng. 5.6-rasmda 
garmonik  ossillyatorning  mumkin  bo‘lgan  energiyalarining  spektri 
keltirilgan. 
2
0
ν
h
E
=
  –  ossillyatorning  asosiy  holatining  energiyasi 
bo‘lib, nolli energiya deyiladi. 
Demak,  kvant  mexanikasida  ossillyator  energetik  spektri  diskret 
bo‘ladi.  Bu  spektrda  ossillyator  energetik  sathlari  orasidagi  energiya 
farqi 
h
ν
 
ga 
teng. 
Bunday 
diskret 
energetik 
spektrlar 
kvant  mexanik  tizim 
chegaralangan  hollarda 
hosil  bo‘ladi.  Klassik 
mexanikada  ossillyator 
energetik 
spektri 
uzluksiz 
bo‘ladi. 
“Erkin”  zarra,  ya’ni 
kuch 
maydonidan 
tashqarida 
bo‘lgan, 
potensial 
energiyasi 
doimiy  bo‘lgan  zarra 
energiyaning 
istalgan 
qiymatlariga 
ega 
bo‘lishi 
mumkin, 
bunda  uning  spektri 
ham uzluksiz bo‘ladi. 
5.6-rasmda  ossillyator  energetik  sathlarining  (5.122)  formula 
orqali  hisoblangan  energiya  qiymatlari  va  x  o‘qida  har  bir  sohada 
zarraning topilish ehtimoliyati zichligi 
|ψ|
2
 keltirilgan. 
Kvant  mexanikasi  nuqtai  nazaridan  ossillyator  to‘g‘risida  bayon 
qilingan  tushunchalardan  yana  bir  muhim  xulosa  kelib  chiqali: 
5.6-rasm 
 
170
ossillyator  energiyasi  nolga  aylanishi  mumkin  emas.  (5.122) 
formuladan  ko‘rinadiki,  ossillyatorning  eng  kichik  energiyasi  E
0
 
nolga teng bo‘lmaydi, bu nolinchi energiya deyiladi va 
ν
h
2
1
 ga teng 
bo‘ladi.  
Berilgan  sohada  x  o‘qida  zarraning  topilish  ehtimoliyati  5.6-
rasmda  energiyaning  ruxsat  etilgan  ba’zi  bir  qiymatlari  uchun 
ehtimoliyat  zichligining  taqsimlanishi  keltirilgan.  Grafikda  chiziqli 
garmonik ossillyatorning U(r) potensial funksiyasi ifodalangan. A va 
A',  B  va  B'  nuqtalar  kvant  soni  n  ning  berilgan  qiymatida  potensial 
energiya  mumkin  bo‘lgan  to‘liq  energiyaga  teng  bo‘ladigan 
nuqtalardir. Klassik ossillyator (5.118) formulaga asosan bu nuqtalar 
chegarasidan chetga chiqa olmaydi. Kvant mexanikasidagi ossillyator 
uchun  esa  ehtimoliyat  zichligi  chekli  qiymatga  ega  bo‘ladi  va  bu 
chetki  nuqtalar  tashqarisida,  ya’ni  potensial  chuqurlikdan  tashqarida 
ham  zarraning topilish  ehtimoliyati  kichik bo‘lsada, chekli  qiymatga 
ega bo‘ladi. 
 
Nazorat savollari 
 
1.
 
Kvant  mexanikasida  mikrozarralarning  holati  qanday 
aniqlanadi? 
2.
 
To‘lqin  funksiyasi  Shredinger  tenglamasining  yechimi 
bo‘lishi uchun qanday shartlarni qanoatlantirish kerak? 
3.
 
To‘lqin funksiyasi amplitudasi kvadratining mohiyati nima? 
4.
 
Stasionar  holat  va  nostasionar  holatlar  to‘g‘risida  tushuncha 
bering. 
5.
 
Stasionar  holatlar  uchun  Shredinger  tenglamasini  yozing  va 
izohlang. 
6.
 
Nostasionar  holatlar  uchun  Shredinger  tenglamasini  yozing 
va tushuntiring. 
7.
 
Xususiy funksiya va xususiy energiyalar qanday funksiya va 
qanday energiyalardir? 
8.
 
Normalash shartining mohiyati nima? 
9.
 
Shredinger  tenglamasida  zarraning  qaysi  xususiyati  hisobga 
olingan? 
10.
 
Fizik 
kattaliklar 
operatorlarini 
qanday 
tushuntirasiz? 
Operatorlar qanday bog‘lanishni ifodalaydi? 

 
171
11.
 
Operatorlarni qo‘shish va ko‘paytirish qanday bajariladi? 
12.
 
Gamilton operatorlarining mohiyati nimadan iborat? 
13.
 
Zarra  qachon  erkin  harakat  qiladi  va  bunday  harakat  uchun 
Shredinger tenglamasi qanday ko‘rinishda yoziladi? 
14.
 
Chiziqli garmonik ossillyatorni qanday tushunasiz? 
15.
 
Ossillyator energiyasi qanday formula bilan aniqlanadi? 
16.
 
Ossillyator energiyasi nolga aylanishi mumkinmi? 
 
 
172
VI-BOB. BIR ELEKTRONLI ATOMLAR 
 
Tashqi  elektron  qobig‘ida  bitta  elektron  (valent  elektron) 
harakatlanayotgan  atom  bir  elektronli  atom  deyiladi.  Bir  elektronli 
atomlarga vodorod va vodorodsimon atomlar kiradi. 
 
6.1-§. Vodorod atomi 
 
Vodorod  atomi  eng  oddiy  atom  tizimi  bo‘lib,  u  proton  va 
elektrondan  tuzilgan.  Yadro  maydonida  bitta  elektron  harakatlanadi. 
Proton va elektron orasida elektr tortishish kuchi ta’sir qiladi.  
Proton  massasi  elektron  massasidan  bir  necha  marta m
p
=1836m
e
 
kattadir,  shuning  uchun  protonni  (yadroni)  deyarli  tinch  holatda  deb 
qabul  qilish  mumkin.  Klassik  tasavvurlarga  asosan  vodorod  atomi 
tuzilishi  6.1-rasmda  ko‘rsatilgan.  Yadro  to‘g‘ri  burchakli  koordinata 
tizimi boshida joylashgan. Elektron  yadro atrofida r o‘lchamli  orbita 
bo‘ylab  Kulon  tortishish  kuchi  ta’sirida  harakatlanadi.  Elektronning 
potensial energiyasi 
2
0
( )
4
е
U r
r
πε
= −
,  
 
 
(6.1) 
(6.1)  formulada  e  –  elektron  zaryadi, 
ε
0
  –  vakuum  uchun  dielektrik 
doimiylik, 
ε
0
=8,85∙10
–12
f/m, 
r – elektron orbitasi radiusi. 
Kvant 
mexanikasi 
nuqtai  nazaridan  elektron 
Kulon  potensial  chuqurligi-
da 
joylashgan 
to‘lqinlar 
tizimidan  iborat.  Bundan 
esa  turg‘un  to‘lqinlar  tizimi 
mavjud 
bo‘lishligi 
kelib 
chiqadi.  Bu  to‘lqinlarning 
har  biriga  to‘liq  energiya-
ning 
mumkin 
bo‘lgan 
qiymati mos keladi. Bunday 
holda  to‘lqin  tenglamasini 
uch  o‘lchamli  ko‘rinishda 
yozish  talab  qilinadi.  Vodorod  atomi  stasionar  holatda  bo‘lgani 
6.1-расм 

 
173
uchun  vaqtga  bog‘liq  bo‘lmagan  Shredinger  tenglamasidan 
foydalanish qulaydir. Bunda to‘liq energiya quyidagicha: 
2
2
P
E
U
m
=
+
.   
 
 
(6.2) 
To‘g‘ri  burchakli  koordinatalar  tizimida  uch  o‘lchamli  holatda 
Gamilton operatori quyidagicha ko‘rinishda yoziladi: 
U
z
y
x
m
H
+




∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−
=
2
2
2
2
2
2
2
2
ˆ
h
. 
 
(6.3) 
Masalaning  simmetrik  bo‘lganligidan  bu  o‘rinda  sferik 
koordinatalar  tizimidan  foydalaniladi.  Bunday  sistema  6.1-rasmda 
keltirilgan.  Rasmda  radius  vektor  –  r,  qutb  burchagi  – 
θ
,  azimut 
burchagi  – 
ϕ
  sferik  koordinatalar  hisoblanadi.  Dekart  koordinatalar 
x,y,z  va  sferik  koordinatalar  r,
θ
,
ϕ
  orasida  quyidagicha  bog‘lanish 
mavjud: 




=
=
=
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
cos
sin
sin
cos
sin
r
z
r
y
r
x
. 
 
 
(6.4) 
(6.4)da  keltirilgan  formulalar  orqali  dekart  koordinatalar  tizimidan 
sferik  koordinatalar  tizimiga  o‘tamiz.  Gamilton  operatorini  sferik 
koordinatalar 
tizimida 
yozib, 
ma’lum 
matematik 
amallarni 
bajargandan  so‘ng  Shredingerning  stasionar  tenglamasini  quyidagi 
ko‘rinishda yozish mumkin: 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1
1
sin
2
sin
1
sin
4
r
m r
r
r
r
е
E
r
r
ψ
ψ
θ
θ θ
θ
ψ
ψ
ψ
θ ϕ
πε

∂
∂
∂
∂




−
+
+




 ∂
∂
∂
∂








∂
−
+
+
=



∂  

h
 
(6.5) 
Endi to‘lqin funksiyasi r, 
θ
 va 
ϕ
 ga bog‘liq bo‘ladi. 
( , , )
r
ψ θ ϕ
Ψ =
.  
 
 
(6.6) 
Hosil  qilingan  (6.5)  tenglamaning  yechimi  uchta  koordinata 
funksiyasi ko‘paytmasi ko‘rinishida bo‘ladi. 
( , , )
( ) ( ) ( )
r
R r
ψ θ ϕ
θ φ ϕ
=
Θ
   
(6.7) 
 
174
(6.7) ifodani (6.5) formuladagi Shredinger tenglamasiga qo‘yamiz va 
2mr
2
/ћ
2
 ga ko‘paytiramiz, u vaqtda: 
2
2
2
2
2
2
2
0
sin
sin
sin
2
0
4
d
dR
R
d
R
d
d
r
dr
dr
d
d
d
mr
е
E
R
r
φ
φ
φ
θ
θ ϕ
θ θ
θ
φ
πε
Θ
Θ




Θ
+
+
+










+
+
Θ =




h
  
(6.8) 
(6.8) tenglamani 
ψ
=R
Θφ
 ga bo‘lsak, hadlari r ga bog‘liq va 
θ
,
ϕ
 larga 
bog‘liq  bo‘lmagan  ifoda  hosil  bo‘ladi.  Bu  holat  ikki  qismni 
guruhlashga  yordam  beradi:  r  ga  bog‘liq  bo‘lgan  radial  va 
θ
, 
ϕ
  ga 
bog‘liq bo‘lgan burchak qismlaridir. Ularning har biri bir xil bo‘lgan 
qandaydir  doimiy  songa  teng  qilib  olinadi.  Bu  doimiylik  sifatida 
ℓ(ℓ+1) qabul qilingan. 
2
2
2
2
0
2
(
1)
4
d
dR
mr
е
r
E
R
R
dr
dr
r
πε



 +
+
=
+








l l
h
   
(6.9) 
va 
)
1
(
sin
sin
1
sin
1
2
2
2
+
=






Θ
Θ
+
l
l
θ
θ
θ
θ
ϕ
φ
θ
φ
d
d
d
d
d
d
.  
(6.10) 
(6.10)  tenglamani  ikki  qismga  ajratish  mumkin:  birinchi  faqat  qutb 
burchagi 
θ
 ga, ikkinchisi faqat azimut burchagi 
ϕ
 ga bog‘liq bo‘lgan 
qismlardir.  Buning  uchun  (6.10)  tenglamani  sin
2
θ
  ga  ko‘paytirib, 
hadlarni guruhlash kerak: 
0
sin
)
1
(
sin
sin
1
2
2
2
=
+
−






Θ
Θ
+
θ
θ
θ
θ
θ
ϕ
φ
φ
l
l
d
d
d
d
d
d
. 
(6.11) 
(6.11)ning  har  bir  qismini  doimiy  kattalikka  tenglashtiramiz.  Hosil 
bo‘lgan  tenglamalarning  istalgan  yechimi  ℓ  ning  parametr 
ko‘rinishidagi  tegishli  qiymatiga  ega  bo‘ladi.  Bo‘linma  doimiyligini 
2
l
m
  bilan  belgilaymiz.  Tenglamaning  har  ikki  qismini 
2
l
m
  ga 
tenglashtirib  va  kerakli  matematik  amallarni  bajargandan  so‘ng 
quyidagi ikkita tenglama hosil bo‘ladi: 
)
1
(
sin
sin
1
sin
2
2
+
=






Θ
Θ
−
l
l
l
θ
θ
θ
θ
θ
d
d
d
d
m
, 
(6.12) 

 
175
0
2
2
2
=
+ φ
ϕ
φ
l
m
d
d
. 
 
(6.13) 
Shunday qilib, vodorod atomining ideallashtirilgan modeli uchun 
Shredingerning  sferik  koordinatalar  tizimidagi  to‘lqin  tenglamasi 
uchta 
(6.9), 
(6.12) 
va 
(6.13) 
tenglamalarga 
ajratiladi. 
Tenglamalarning  har  biri  faqat  bitta  koordinataga  bog‘liq.  Bu 
tenglamalarni ko‘rib chiqaylik.