Г л а в а 14. Упругие волны

3.5. Стоячие волны

Стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух встречных бегущих волн (например, бегущей и отраженной) с одинаковыми частотами и амплитудами.
Запишем уравнение бегущей и отраженной волн в виде

₁ = A cos(t – kx);

₂ = A cos(t + kx).


Уравнение стоячей волны получим, просуммировав эти выражения:

 = ₁ + ₂ = А_ст cos t. (3.20)

А_ст= 2А cos kx = 2 Аcos(2x/) , (3.21)

где А_ст и А–амплитуды стоячей и бегущей волн соответственно.

График стоячей волны как результат сложения бегущей и отраженной волн (мгновенный снимок ) приведен на рис. 3.11.

Амплитуда стоячей волны зависит от координаты х точки, т.е. каждая точка волны колеблется со своей амплитудой.

Узлами стоячей волны называют точки среды, амплитуды колебаний которых равны нулю, в эти точки бегущая и отраженная волны приходят в противоположных фазах.
Найдем координаты узлов: А_ст = 2Аcos(2x/) = 0, если cos(2x/) = 0. Этому условию удовлетворяют точки среды, для которых 2x/ =  (m + 1/2) , откуда


(m = 0, 1, 2, …) (3.22)
Пучности стоячей волны–это точки среды, амплитуда колебаний которых максимальна, т.е. А_ст = 2А, в эти точки волны приходят в одинаковых фазах. Найдем координаты пучностей: А_ст=2Аcos(2x/) = = 2А, если cos(2x/) = 1. Этому условию удовлетворяют точки среды, для которых 2x/ =  m, откуда
(m = 0, 1, 2, …). (3.23) Из сопоставления формул (3.22) и (3.23) следует, что расстояния между двумя соседними узлами или двумя соседними пучностями равны /2. Расстояние между соседними узлом и пучностью составляет четверть длины волны, т.е.  / 4.
П оложения узлов и пучностей от вpемени не зависят, а это означает, что в стоячей волне узлы–это точки, в котоpых колебаний вообще нет, а пучности–точки с максимальной амплитудой (остальные точки колеблются с меньшей амплитудой, стоячая волна как бы «дышит»). На рис.3.12 представлена развертка стоячей волны во времени.

Рис. 3.12

Отметим отличия бегущей и стоячей волн.

1. В бегущей волне амплитуда колебаний для всех точек среды одна и та же, а в стоячей амплитуды pазные и зависят от pасстояния точек до источника колебаний.
2. В данный момент времени в бегущей волне все точки в пpеделах длины волны колеблются с pазными фазами, а в стоячей – в одной фазе, т.к множитель cos(t) для всех точек общий. Все точки одновpеменно пpоходят положение равновесия, затем максимально отклоняются (каждая со своей амплитудой) .
При переходе через узел множитель cos kx меняет знак, т.е. точки по разные стороны от узла колеблются в противофазах. При переходе через узел фаза волны скачком меняется на .
3. В бегущей волне пpоисходит пеpенос энеpгии от точки к точке в напpавлении pаспpостpанения волны, а в стоячей этого не пpоисходит, потенциальная энеpгия каждой точки пеpеходит в кинетическую, и наобоpот. Энеpгия волны сосpедоточена между узлами и не пеpедается чеpез них. Поэтому полная энергия, заключённая между узлами, остаётся постоянной.
Можно показать, что кинетическая энергия волны концентрируется вблизи точек, имеющих максимальную амплитуду скорости, а потенциальная – вблизи пучностей деформаций. Поэтому максимальные значения обеих энергий равны и смещены на /4.
Отражение бегущей волны от границы раздела зависит от свойств сред. Способность среды оказывать сопротивление проникновению в нее упругих волн характеризуется волновым сопротивлением (произведением плотности среды на скорость распространения в ней волны, т.е. ).
Если волна отражается от среды с меньшим волновым сопротивлением (отражение «от менее плотной среды»), то на границе в месте отражения образуется пучность. Это показано на рис. 3.13: если бы границы не было, то волна продолжала бы двигаться далее (пунктирная линия), т.к. плотности сред разные, волна отражается зеркально самой себе. При отражении от менее плотной среды фаза волны не меняется.

Если отражение происходит от среды с большим волновым сопротивлением («от более плотной среды»), то на границе образуется узел, так как волна при отражении меняет фазу на противоположную, и у границы раздела происходит сложение колебаний с противоположными фазами. В этом случае говорят, что происходит «потеря полуволны». Отражение от более плотной среды показано на рис. 3.14: если бы границы не было, волна шла бы дальше (пунктир). Из-за изменения фазы на противоположную половина длины волны теряется, волна отражается зеркально самой себе, но с потерей полуволны.

Формулы (3.22) и (3.23) записаны для случая отражения волны от менее плотной среды. При отражении от более плотной среды положение узлов и пучностей из-за изменения фазы волны на противоположную меняются местами (см. далее пример 4).

Образование стоячих волн связано с явлением резонанса в ограниченных участках сплошной упругой среды. Воздушные столбы, заключенные в духовых инструментах, наполненные воздухом резонансные ящики камертонов, струны, упругие стержни могут рассматриваться как простые колебательные системы. Узлы стоячей волны в этих случаях – места закрепления.