Г л а в а 14. Упругие волны

П р и м е р 4. Уравнение плоской бегущей поперечной волны имеет вид  = 0,2 cos(t/2 –x/3) м. При отражении волны от границы раздела с менее плотной средой образуется стоячая поперечная волна. Нужно: 1) записать уравнение стоячей волны: 2) определить амплитуду колебаний точки среды, расположенной на расстоянии 3 м от источника колебаний; 3) решить задачу для случая отражения бегущей волны от более плотной среды.
Р е ш е н и е. 1. Запишем уравнение стоячей волны в общем виде:  = 2Аcos kx  cos t (3.20). Из уравнения бегущей волны следует, что амплитуда А = 0,2 м, волновое число k = /3 м^-1, циклическая частота  = /2 с^-1. Подставим найденные параметры в уравнение стоячей волны, получим искомое уравнение  = 0,4cos(х/3) cos (t/2) м.
2. Найдем амплитуду колебаний точки в стоячей волне:
А_ст = 0,4cos 3/3 = 0,4 м.
Координата х = 3 м соответствует пучности стоячей волны.
3. Если отражение происходит от более плотной среды, то в уравнении отраженной волны следует учесть изменение фазы волны в месте отражения на . Тогда стоячая волна образуется как суперпозиция волн:  = Асos(t - kx) и  = Асos(t + kx + ). После преобразований получим уравнение стоячей волны:  = 2А cos (kx + /2)  cos (t + /2)
или
 = 2А sin (kx)  sin (t). (3.24)

Из (3.24) следует, что координаты узлов и пучностей при отражении от более плотной среды определяются соотношениями

х_уз= m/2; х_п= (m +1/2) /2, (3.25)

т.е. узлы и пучности поменялись местами, и в точке с координатой х = 3 м будет узел.

П р и м е р 5. Длина стального, закрепленного на двух опорах, стержня (рис.3.15) равна 5 м. Найти частоты, при которых в стержне образуется стоячая волна. Скорость волны в стержне 5100 м/с.
Р е ш е н и е. При возбуждении колебаний в стержне установит- ся стоячая волна. На концах его обязательно образуются узлы (концы стержня закреплены), а между ними – одна или несколько пучностей (рис.3.15). Определим частоты, при которых это будет происходить. Расстояние между соседними узлами равно /2, следовательно, на длине стержня должно уложиться целое число полуволн:


l = m/2 , (m = 1, 2, 3, ..) (3.26)

Длина волны связана с частотой колебаний  и скоростью волны  соотношением  = /. Подставим это выражение в (3.26), получим

 = m/(2l),  = m/l. (3.27)

Такие частоты называют собственными

Результаты (3.27) показывают, что в системе, на которую наложены определенные граничные условия (в нашем случае – равенство нулю смещений начала и конца стержня) возможны лишь дискретные значения частот. Частота для m = 1 называется основной.
Для m = 1, 2, 3 значения частоты  в Гц равны, соответственно, 510, 1020, 1530. Полученные результаты представлены графически (рис. 3.15)

Рис. 3.15

Вопросы и задания для самоконтроля,

компьютерные упражнения

1. 
   Какой процесс называют волновым? Чем он отличается от
   

колебаний?

2. 
   Дать определение понятиям: волновое поле, фронт волны, волно-
   

вая поверхность, луч.

3. 
   Верно ли утверждение: «Фронт волны – это движущаяся волновая поверхность»?
   
4. 
   Какие волны называют продольными, поперечными? Приведите примеры.
   
5. 
   Скорость каких волн больше, продольных или поперечных?
   
6. 
   Продольными или поперечными будут волны, возбуждаемые смычком в струне, в воздухе?
   
7. 
   Почему поперечные волны не распространяются в жидкостях и газах?
   
8. 
   Могут ли упругие волны распространяться в вакууме? Ответ пояснить.
   
9. 
   Найти разность фаз колебаний точек среды, расстояние между которыми равно: 1) /2; 2) /4; 3) .
   
10. 
    Выразить в длинах волн расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в фазе; в противофазе.
    

11. К моменту времени t сферическая волна дошла до точки 4 (рис. 3. 16). Расстояние между сферами на рис. 3.16 равно /2. Указать точки среды, колеблющиеся в фазе, в противофазе. Показать волновые поверхности, фронт волны. Сравнить амплитуды.
12. Сравнить длину волны звуковых и ультразвуковых волн, если скорость распространения их в воздухе одинакова.

13. 
    На рис. 3.17 представлен график поперечной волны. Найти фазы колебаний точек среды, имеющих в данный момент времени нулевые и максимальные смещения. Волна распространяется вправо.
    

14. 
    Записать в общем виде уравнение плоской бегущей волны и уравнение колебаний. Какие параметры у них общие? Чем они различаются ? Построить в общем виде их графики.
    
15. 
    Как, зная уравнение волны, можно найти ее скорость?
    
16. 
    Частота звука увеличилась вдвое, как изменилась энергия волны?
    
17. 
    Амплитуда отраженной от преграды упругой волны составляет 0,8 амплитуды падающей. Как изменилась энергия отраженной волны в сравнении с падающей?
    
18. 
    В какой среде при прочих равных условиях энергия звуковых волн больше: в камне или воде?
    
19. 
    Как изменяются кинетическая, потенциальная, полная энергия: а) участка бегущей волны; б) гармонического осциллятора?
    
20. 
    Чему равна разность фаз для потенциальной и кинетической энергии: а) участка бегущей волны; б) гармонического осциллятора?
    
21. 
    Может ли в некоторый момент времени кинетическая энергия участка бегущей волны стать равной нулю? Каких значений достигают при этом потенциальная и полная энергии участка?
    
22. 
    Могут ли для данного участка волны быть моменты времени, когда полная энергия равна нулю? Какими при этих условиях будут потенциальная и кинетическая энергии?
    
23. 
    .Как образуется стоячая волна ? Чем она отличается от бегущей волны?
    
24. 
    Почему фаза стоячей волны при переходе через узел меняется скачком на ?
    
25. 
    Сравнить амплитуды и фазы точек среды, расположенных: а) на равных расстояниях от узла стоячей волны по разные его стороны; б) между соседними узлами на равных расстояниях от них.
    
26. 
    В некоторый момент времени смещение точек среды в стоячей волне максимально. Изобразить графически стоячую волну через время Т/4; Т/2.
    
27. 
    На рис. 3.12 представлена развертка стоячей волны во времени. Указать моменты времени, для которых полная энергия волны равна ее: а) потенциальной; б) кинетической энергии.
    
28. 
    Есть ли в стоячей волне точки среды, энергия которых всегда равна нулю? Означает ли это исчезновение энергии?
    
29. 
    Почему энергия не переносится через узлы?
    
30. 
    Две волны, идущие навстречу друг другу, отличаются амплитудами. Будет ли такая волна переносить энергию?
    
31. 
    Расстояние между соседними узлом и пучностью 3 м. Найти длину стоячей волны.
    
32. 
    Объяснить отражение волны от границы раздела сред, пользуясь рис. 3.13, 3.14. Что означает выражение : «потеря полуволны» при отражении?
    
33. 
    Граница раздела двух сред частично проницаема для волны, поэтому амплитуда отраженной волны за счет потери энергии при поглощении должна быть меньше амплитуды падающей. Если на границе раздела образуется узел, этого не происходит. Почему?
    

Компьютерные упражнения

Компьютерный тренажер по волновым процессам аналогичен тренажерам по механическим колебаниям