Г л а в а 14. Упругие волны

З а д а н и е 2. Стоячая волна. Компьютерная модель «Стоячая волна» позволяет наблюдать в динамике образование поперечных стоячих волн при отражении от разных сред.
По графику стоячей волны (рис.3.19) определить параметры, перечисленные ниже. .
1 . Длина бегущей волны  = 12 м.
2. Амплитуды волн: бегущей А_б = 20 см, стоячей А_ст = 40 см.
В стоячей волне на рис. 3.19 точки не достигли максимальных смещений.

3. Период колебаний Т = 0,04 с

4. Циклическая частота  = 50 с^-1.
5. Волновое число k = /6 м^-1.
6. При отражении бегущей волны на границе раздела (справа) образуется узел, вид уравнения стоячей волны для данного момента времени определяется формулой (3.24) _ст= 0,4sin(x/6)sin(50t) м;
7. Амплитуды колебаний точек с координатами х:
х, м : 0 1 2 3 4 5 6
А_ст, см : 0 20 34,8 40 34,8 20 0
8. Уравнение колебаний точки А в стоячей волне для данного момента времени _А  32sin(50t) cм.
9. Координаты узлов и пучностей вычисляем по формуле (3.25)
m 0 1 2 3 4 …
х_у, м 0 6 12 18 24 …
х_п , м 3 9 15 21 27 …
10. Разность фаз для точек В и С, С и D: _ВС = 0, _CD = .
11. Координаты точек, в которых полная энергия стоячей волны равна нулю, соответствуют узлам.


Задачи для самостоятельного решения

1. 
   Найти длину волны колебаний, период которых равен 10^-14 с. Скорость распространения колебаний 3 10⁸ м/с.
   
2. 
   В океанах длина волны достигает 300 м, а период 13,5 с. Найти скорость такой волны.
   
3. 
   Чему равен период колебаний лодки, если она качается на волнах, распространяющихся со скоростью 2,5 м/с, а расстояние между двумя соседними гребнями волн 8 м.
   
4. 
   Уравнение волны имеет вид  = 0,1cos(πt/2 –πx/6) м. Найти амплитуду, частоту, период колебаний точек среды, волновое число, длину и скорость волны.
   
5. 
   Волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью 15 м/с, период колебаний шнура равен 2 с, амплитуда колебаний 2 см. Определить длину волны, фазу и смещение точки, отстоящей на 45 см от источника колебаний. Записать уравнение волны.
   
6. 
   Источник совершает колебания по закону  = 5 cos(100t) см. Скорость распространения колебаний 100 м/с. Записать уравнение волны.
   
7. 
   Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 4 см от источника колебаний, через промежуток времени Т/3 равно половине амплитуды. Определить длину волны.
   
8. 
   Скорость волны в среде равна 15 м/с. Период и амплитуда колебаний соответственно равны 1,2 с и 2 см. Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 45 см от источника волн в тот момент, когда от начала колебаний прошло 4 с.
   
9. 
   Звуковые колебания распространяются в воде со скоростью 1480 м/с, а в воздухе – 340 м/с. Во сколько раз изменится длина звуковой волны при переходе звука из воздуха в воду?
   
10. 
    Найти длину волны, если известно, что разность фаз колебаний двух точек волны, находящихся на расстоянии 2 м друг от друга, равна /2.
    
11. 
    Найти скорость распространения волн в упругой среде, если разность фаз колебаний двух точек, отстоящих друг от друга на расстоянии 15 м, равна 60⁰. Записать уравнение волны, если амплитуда колебаний равна 50 см, частота колебаний 30 Гц.
    
12. 
    Скорость распространения колебаний в упругой среде равна 24 м/с. Найти расстояние между двумя колеблющимися точками волны, если разность фаз между ними равна /2.
    
13. 
    Две точки находятся на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью 25 м/с. Определить разность фаз колебаний в этих точках, если период колебаний 0,1 с, а расстояние между точками 6,25 см.
    
14. 
    При сейсмической разведке месторождения на расстоянии 54 км от него был произведен взрыв. Первый сигнал прибор зафиксировал через три минуты после взрыва. Геолог решил, что в месте отражения сигнала залегает гранит. Прав ли он? Скорость продольной волны в граните равна 5400 м/с.
    
15. 
    Приборы сейсмической станции зарегистрировали толчок от землетрясения дважды через промежуток времени, равный 39,5 с. Найти расстояние от станции до эпицентра землетрясения. Скорость поперечной волны равна 3700 м/с, продольной – в 1,7 раза больше.
    
16. 
    Ультразвуковая волна вида  = Аcos(210⁶t – 0,410³х) от дефектоскопа распространяется в стальной детали. Первый отраженный сигнал был получен через 60 мкс после посылки, второй – через 180 мкс. Скорость ультразвука в стали равна 5000 м/с. Найти высоту детали и глубину залегания дефекта.
    
17. 
    Для измерения скорости потока жидкости в ней установили источники ультразвука на расстоянии 100 м друг от друга. Это расстояние ультразвук проходит в одном направлении за 0,5 с, в противоположном – за 1 с. Найти скорость потока.
    
18. 
    Из орудия произвели выстрел под углом 10^° к горизонту. Через какое время артиллерист услышит звук разрыва снаряда, если начальная скорость снаряда 800 м/с?
    
19. 
    На озере в безветренную погоду из лодки бросили тяжелый якорь. От места бросания якоря пошли волны. Человек, стоящий на берегу, заметил, что волна дошла до него через 50 с, расстояние между соседними горбами волн 0,5 м, а за 5 с было 20 всплесков о берег. Как далеко от берега находилась лодка? Записать уравнение волны, если известно, что высота гребня равна 30 см.
    
20. 
    Расстояние между гребнями волн в море 5 м. При встречном движении катера волна за 1 с ударяется об его корпус 4 раза, а при попутном – 2 раза. Найти скорости катера и волны, если известно, что скорость катера больше скорости волны.
    
21. 
    Амплитудные значения смещения и скорости плоской акустической волны в воде равны 510^-4 м и 1,38 м/с. Определить смещение и скорость точки, отстоящей от источника колебаний на расстояние /6 по истечении времени Т/4 после начала колебаний.
    
22. 
    Определить разность фаз колебаний двух точек, лежащих на прямой и отстоящих на расстоянии 5 м друг от друга, если длина волны равна 1 м.
    
23. 
    Источник совершает колебания по закону  = 0,05sin(500t) м. Определить смещение точки, находящейся на расстоянии 60 см от источника колебаний через 0,01 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний 300 м/с.
    
24. 
    Акустические колебания частотой 500 Гц и амплитудой 0,25 мм распространяются в воздухе. Длина волны их 70 см. Найти: 1) скорость распространения колебаний (скорость волны); 2) максимальную скорость частиц воздуха.
    
25. 
    Найти частоту звуковых колебаний в стали, если минимальное расстояние между точками звуковой волны, отличающимися по фазе на π/2, равно 1,54 м. Скорость звука в стали 5·10³ м/с.
    
26. 
    По графику волны (рис.3.20) построить график колебаний точки, находящейся на расстоянии /2 от источника колебаний, если скорость распространения колебаний равна 2 м/с. Записать уравнение колебаний.
    
27. 
    По графику колебаний гармонического осциллятора (рис.3.21) построить график волны, если известно, что за время, равное 16 с, волна прошла расстояние в 12 м. Записать уравнение волны.
    

28. 
    Уравнение колебаний имеет вид  = 10cos(0,5t) см. Скорость распространения колебаний 300 м/с. Нужно: 1) найти уравнение волны; 2) написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии 600 м от источника колебаний; 3) написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t = 4 с после начала колебаний.
    
29. 
    Уравнение незатухающих колебаний дано в виде  = 4cos(100t), см. Смещение от положения равновесия точки, находящейся на расстоянии 75 см от источника колебаний, через 0,01 с после начала колебаний равно амплитуде. Найти скорость распространения колебаний.
    
30. 
    Уравнение волны дано в виде  = 5cos(2,5t – х/500) см. Найти смещение от положения равновесия, скорость и ускорение точки, находящейся на расстоянии 20 см от источника колебаний для момента времени t = 1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний равна 100 м/с.
    
31. 
    Найти положение узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит: 1) от более плотной среды; 2) от менее плотной среды. Длина бегущей волны 24 см. Начертить график стоячей волны для каждого из случаев.
    
32. 
    Определить длину волны колебаний, если расстояние между первой и четвертой пучностями стоячей волны равно 15 см. Записать уравнение стоячей волны, если скорость бегущей волны равна 100 м/с.
    
33. 
    В шнуре, привязанном к стене, возбудили стоячую волну с частотой колебаний 2,5 Гц. Длина шнура 1,5 м. Узлы стоячей волны делят шнур на шесть равных частей. Найти скорость распространения волн в шнуре.
    
34. 
    Уравнение плоской бегущей поперечной волны имеет вид  = 5 cos(t/2 –x/6) см. При отражении волны от границы раздела с менее плотной средой образуется стоячая волна. Нужно: 1) записать уравнение стоячей волны; 2) найти координаты узлов и пучностей; 3) определить амплитуды колебаний точек среды, расположенных между двумя соседними пучностями; 4) построить графики стоячей и бегущей волн для момента времени t = Т; 5) записать уравнения колебаний нескольких точек среды, расположенных между узлами: 6) решить задачу для случая отражения бегущей волны от более плотной среды.
    
35. 
    Стальной стержень длиной 5 м (рис.3.22) закреплен один раз в средней части (рис.3.22 а), другой раз – на краю (рис.3.22, б). Скорость волны в стержне 5100 м/с. Нужно: 1) построить графики стоячих волн (см. пример 5); 2) найти частоты, при которых в стержне образуется стоячая волна. Показать, что в первом случае первая гармоника имеет ту же частоту, что и в примере 5, а высшие (m > 1) могут быть только нечетными. Убедиться, что во втором случае первая гармоника имеет вдвое меньшую частоту, высшие гармоники только нечетные.