Г л а в а 14. Упругие волны

П р и м е р 1. Звуковые волны распространяются в воздухе со скоростью 340 м/с. Частота колебаний частиц воздуха равна 170 Гц, их максимальное отклонение от положения равновесия равно 0,3 мм. Найти длину волны, записать уравнение волны, построить ее график.
Р е ш е н и е. Длина волны  = Т = =/, = 340/170 = 2 м.
Для записи уравнения волны в виде  (х, t) = =Аcos(t - kх) определим  = 2 = 2∙170 = =340 с^-1, k = 2/ = =2/2 =  м^-1. Получим уравнение волны  (х, t) = 310^-4 cos (340t - х ) м и ее график (рис. 3.7).
П р и м е р 2. Уравнение плоской бегущей волны имеет вид  (х, t) = 0,1cos ( t /2 - x/20) м. Нужно: 1) определить длину волны; 2) найти разность фаз колебаний двух точек 1 и 2, находящихся от источника колебаний на расстояниях, соответственно, 20 и 60 м; 3) записать уравнение колебаний точки 1 и построить график этих колебаний
Р е ш е н и е. Длину волны найдем через волновое число в уравнении волны: k = 2/ = /20 м^-1; 2/ =1/20;  = 40 м. Для определения разности фаз колебаний используем формулу (3.6):

 = (60 - 20) / 20 = 2.

Подставим в уравнение волны координату точки 1, получим уравнение колебаний

 (t) = 0,1cos (t/2 - ) м.

Для построения графика (рис. 3.8) амплитуду колебаний берем из условия задачи, период колебаний определяем через циклическую частоту: Т = 2/, т.е. Т = 2/(/2) = 4 с.

3.3. Фазовая скорость. Волновое уравнение.

Групповая скорость

В волновом поле следует различать две независимые скорости – скорость каждой точки волны в колебательном движении


(3.7)

и скорость волны, зависящую от свойств среды (см. 3.1).

Скорость волны (скорость распространения колебаний) по смыслу может быть определена как производная от координаты x по времени:  = dx/dt. Допустим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е. (t - kх + ₀) = const. Продифференцируем это выражение, получим dt – kdx = 0, откуда
 = /k . (3.8)

Эта скорость характеризует скорость перемещения фазы волны, поэтому ее называют фазовой скоростью. Ее можно определить также по выражению (3.2).