Г л а в а 14. Упругие волны

Волновое уравнение–дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее распространение волн в однородной изотропной среде. Для плоской волны оно имеет вид

(3.9)

В общем случае для произвольного направления распространения волны с любой формой фронта волновое уравнение записывается как

или (3.10)
Принцип суперпозиции волн формулируется следующим образом: если в среде идет несколько волн, то каждая из них распространяется независимо от других. Результирующее смещение частицы среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений ее в каждом из волновых процессов.
Волновой пакет – суперпозиция волн (группа волн) в ограниченной области пространства, мало отличающихся по частоте (рис. 3.9). В виде волнового пакета можно представить любую волну.
Групповой скоростью u называют скорость, с которой движется центр волнового пакета – точка О на рис. 3.9. Она соответствует максимальной амплитуде волны, и скорость ее определяется выражением
(3.11)
Групповая скорость характеризует скорость переноса энергии волной.
Можно показать, что гpупповая скоpость u связана с фазовой скоростью  уравнением


u=d  d. (3.12)

Фазовая скорость упругих волн зависит от частоты (длины волны). Это явление называется дисперсией.

Зависимость фазовой скорости от длины волны, например, в кристаллах, незначительна при больших длинах волн, т. е. dυ/dλ = 0. Тогда групповая скорость равна фазовой (3.12). При малых длинах волн, соизмеримых с постоянной кристаллической решетки, дисперсия волн становится существенной, и групповая скорость отличается от фазовой. В зависимости от знака d/d, групповая скорость может быть как меньше, так и больше фазовой.
П р и м е р 3. Плоская бегущая волна представлена уравнением
 _х,t = 0,5cos(t/4 - x/10) м. Найти: 1) скорость распространения колебаний; 2) зависимость скорости колебаний от времени для точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии х = 5 м и амплитуду скорости.
Р е ш е н и е. Скорость волны рассчитаем по формуле  = /Т. Период колебаний Т и длина волны заданы уравнением волны:

 = /4 с^-1; k = /10 м^-1;

Т = 2/(/4) = 8 с;  = 2/(/10) = 20 м;
 = 20/8 = 2,5 м/с.

Для нахождения скорости колебаний запишем уравнение колебаний точки, подставив х в уравнение волны:

 _t = 0,5cos (t/4 - /2) м.
Скорость колебаний точки равна первой производной от смещения по времени: _t = -0,5(/4) sin(t/4 - /2) м/c. Амплитуда скорости колебаний ₀ = 0,5 (/4)  0, 4 м/с.