Garmonikaliq funkciyalar

Germonik fuktsiyanin’ ayirim qa’siyetleri
Teorema (maksium ha’m minimum haqqinda). Eger u(x,y) funktsiya G tarawda germonik bolip tiykarinan o’zgermes sang’a ten’ bolmasa onday jag’dayda bul funktsiya G nini’ ishki noqatlarinda maksimumg’a ha’m minimumg’a da iye boladi).
Da’lil. Teoremani maksimum ushin dalil etilse jeterli sebebi u(x,y) garmonik funktsiyanin’ minimum noqati –u(x,y) garmonik fumktsiya ushin masimum noqat boladi.
Teorema sha’rtleri orinlang’anda u(x,y) funktsiya G tarawda bir z₀ =x₀+iy₀ noqatinan maksimum manisine erissin deyik. K-oraydan z0 noaqttan bolip G tarawda jatiwshi aylana bolsin. K aylana u(x,y) g’a qosimsha bolg’an garmonik fumktsiya du’zemiz.
K shen’ber bir baylamli taraw bolg’ani ushin analtitik funktsiya K da bir manisli boladi (bunin’ ushin ta’riypinde kirgen o’zgermes sandi aniq etip tan’lap aliw kerek(misali, =0 sha’rtinin’ orinlaniwin talap qiliw mu’mkin). funktsiya ha’m K da bir ma’nisli ha’m analitik funktsiya boladi ha’m onin’ moduli ko’re ishli noqattan maksimumg’a erisedi.
1-Na’tiye. G tarawda garmonik ha’m jabiq G tarawda u’zliksiz bolg’an u(x,y) fumktsiya o’zinin’ en’ u’lken ha’m en’ kishi ma’nislerine tarawdin’ shegaraliq noqatlarinda erisedi. Bug’an tiykarinan, eger sonday fumktsiya G tarawdin’ shegarasinda o’z ma’nisin o’zgertpese onday jag’dayda onin’ jabiq G tarawdag’i barliq en’ u’lken ha’m en’ kishi ma’nislerinin’ bir qiyli bolip u’stpe-u’st tu’sedi demek, bul G tarawdag’i o’zgertmes boladi.
2-Na’tiyje. Eger ishki u1(x,y) ha’m u2(x,y) funktsiya G tarwda garmonik jabiq G tarawdag’i u’zliksiz bolip olardin’ G tarawdin’ barliq shegara noqatlarindag’i ma’nisleri bir-birine ten’ bolsa, onday jag’dayda bul funktsiyalar G tarawda o’z-ara ten’ boladi.
Haqiyqattanda bul funktsiyalardin’ ayirmasi G da u’zliksiz ha’de G da garmonik bolip barliq shegara noqatlarinda nolge ten’ boladi. Demek, 1-naltiyjege tiykarlanip bul ayirma barliq G tarawda nolge ten’
Teorema: Eger u(z)1 funktsiya bir baylamli G tarawda garmonik bolsa ha’m ma’nisleri G da jatiwshi funktsiya bir D tarawda analitik bolsa onday jag’dayda qiyin funktsiya D da garmonik funktsiya boladi.
Dalillew ushin haqiyqiy bo’lim G da u(z) g’a ten’ bolg’an f(z) (ko’p ma’nisli boliwi da mu’mkin) funktsiya du’ziwde, yag’niy u(z)=Re f(z). Ko’rinip turg’aninday D da analitik , demek, D da garmonik funktsiya boladi.