Garmonikaliq funkciyalar

Dirixle ma’selesi. Puasson ha’m Shvarts integrallari.
Biz bul noqattda aldin ala garmonik funktsiyalardin’ kerekli tatbiqtan ibarat bolg’an Dirixle ma’selesin ko’remiz.
G taraw shegarasainda anqilang’an ha’m u’zliksiz φ(ζ) funktsiya berilgen bolsin. G tarawda garmonik jabiq G tarawda u’zliksiz bolg’an u(z) funktsiya tabilsin, bul funtsiya G nin’ barliq shegaraliq noqatlarinda berilgen φ(ζ) ma’nisleri qabil etilsin.
Ma’seleni issiliq maydaninin’ temperaturasi (waqitqa baylanisli bolmag’an jag’day) yaki bir tarawda berilgen temperaturada elektrostatik maydaninin’ potensiyalin tabiw ha’m usig’an uqsas bir qansha ma’eleler Direxle ma’selesine keledi.
Alding’i punkttegi 2-natiyjeden Dirixle2 ma’selesinin’ sheshimi jalg’izlig’insha shen’ber to’mendegi teorema kelip shig’adi.
Teorema: Dirixle ma’selesi ushin birden artiq sheshim bar emes.
Biz Dirixle ma’selesin G taraw R radiusli shen’berden ibarat bolg’an jag’day ushin sheshemiz: jaziwdi a’piwaylastiriw maqsetinde shen’berdin’ orayi koordinatalar basinda jaylasqan, dep ko’z aldimizg’a keltiremiz. Dhen’ber aylanasinin’ ten’lemesinin’ |ζ|=R boladi. Eger qutb koordinatalari sistemasina o’tip qutb nu’yeshi a α dep belgilsesk ζ=R^iα bolip
φ(ζ)=φ(Reiα)=φ(α), 0≤α≤2π ha’m φ(0)=φ(2π) boladi.
Bul ma’seleni sheshiwden aldin garmonik funktsiyanin’ ma’nisi shen’ber aylanisinda ma’lim bolsa bul funktsiyanin’ shen’berdin’ ishki noqatlarinda qanday aniqlaw mu’minligin ko’rip shig’amiz. f(z) funkstsiya R radiusli shen’berde ha’m onin’ C-aylanasinda analitik bolsin deylik. C tin’ ishinde jtiwshi ixtiyariy z=re^to noqat ushin, Koshi formulasina tiykarlanip to’mendegilerdi jaza alamiz.
(18)
C aylanag’a qarag’anda z noqattan simmetrik bolg’an z* noqatin taba alamiz:

noqat C dan sirtta jatqanlig’i ushin funktsiya C aylanda ha’m onin’ ishinde analitik boladi, sonin’ ushin Koshi teoremasina tiykalanip:
(19)

(19) ten’likten (20) ten’likti ayiramiz:

Aqirg’i ten’liktegi integral belgisi astindag’i korennin’ surat ha’m maxrajin e^i(0-α) g’a bo’lip, usi

ten’likke tiykarlanip to’mendegilerdi jazamiz:
(20)
Bul formuladan



Bolg’ani ushin shep ha’m on’ ta’repindegi haqiyqiy bo’limleriin ten’lep to’mendegi formulani payda etemiz:
(21)
Mavhum bo’lim ushin ha’mde sonday ko’rinistegi formula payda boladi. Analitik funktsiyanin’ haqiyqiy ha’m mavhum bo’limleri garmonik funktsiyalardan ibarat bolg’ani usin (21) formula ja’rdemi menen ixtiyariy garmonik gunktsiya shen’ber ishindegi ma’nis shen’berdegi ma’nisleri arqali ta;riyplenedi. Bunnan sonday shehim kelip shig’adi eger Dirixle ma’selesindegi berilgen φ(α) funktsiya shen’berde izlenip atirg’an bir u(r,θ) ma’nisine ten’ boladi. (21) formula Dirixle ma’selesinin’ sheshiminnen ibarat boladi. (21) formulanin’ on’ ta’repindegi integralin Puasson integrali dep ataladi.
(20) formulada r=0 desek ha’m u(r,0) funktsiyanin’ r=0 degi ma’nisin u(0) arqali belgilep alsaq to’mendegi formulag’aiye bolamiz:
(22)
Bul bolsa orta ma’nis haqqinda teoremadir yag;niy garmonik funktsiyanin’ shen’ber orayindag’i ma’nis onin’ aylanasindag’i ma’nislerinin’ orta arifmetik ma’nisine ten’
(21) formulada u(R,α)=1 bolsa alding’i punkttegi 1-na’tiyjege titkarlanip u(r,0)=1 boladi yag’niy
(23)
Endi φ(α) aldinnan berilgen |0,2π| segmentte uz’liksiz bolg’an α haqiyqiy oz’geriwshen’ funktsiyasi bolsin. Bul funktsiya ushun Puasson integralin jazamiz:
(24)
Bul integraldin’ birinshiden r ha’m α nin’ garmonik funktsiyasi boliwin ha’m ekinshiden shen’ber ishindegi z=reio noqat aylanada jatiwshi ixtiyariy ζ=Reiα noqatqa umtulg’anda φ(α) limitge umtiliwin ko’rsetemiz: R o’zgermes bolg’ani ushin (24) integral r ha’m 0 parametrlerinin’ funktsiyasi bolip, θ g’a qarag’anda davriydir (davri 2π). Usi