Garmonikaliq funkciyalar

Shvarts integrali. Eger |z| =
(30)
bundag’i A-haqiyqiy o’zgermes. Bul funktsiya Koshi tipindegi integralg’a tiykar teoremag’a tiykarlanip |z|(30) formulani Shvarts formulasin yaki integrali dep ataladi. Shvarts integralindag’i o’zgermes A ni tabiw ushin z=0 dep usi ta’riypleniwdi payda etemiz.

Orta ma’nis haqqindag’i teoremag’a tiykarlanip on’ ta’repindegi integral u(0) g’a ten’ , demek bolip, Shvarts integrali to’mendegi ko’riniske iye boladi:
(31)
Yarim tegislik ushin Dirixle ma’selesi: Haqiyqiy oqda u’zliksiz u(t) funktsiya berligen bolsin. Joqari yarim tegislikte garmonik bolg’an ha’m haqiyqiy oqda alinatug’in berilgen ma’nislerdi qabil etiwshi u(ζ) funktsiyanin’ z noqattag’i ma’nisti tabiw ushin joqari yarim tegislik lmζ>0 di shen’berge conform sa’wlelentiredi:

dep belgilep alamiz. joqaridag’i sa’wlelendiriwde z noqat noqatqa o’tgeni ushin orta ma’nis haqqindag’i teoramag’a tiykarlanip:
(32)
bunda α- aylanadag’i ma’nistin’ argumenti,

Aqirg’i ten’likti differtsiyallap to’mendegini tabamiz:
bunnan
(32) formulada eski z ha’m t o’zgeriwshilerge qaytip joqari yarim tegisliktegi Puasson integralin payda etemiz:
(33)
Ko’rinip turg’aninday

Bunnan paydalanip joqari yarim tegislik ushin to’mendegi Shvarts integralin da jaziw mu’mkin:
(34)
bunda A haqiyqiy o’zgermes. Usi na’rseni aytip o’tiw kerek. (33) integral shegaralang’an u(t) funktsiyalar ushin da jaqinlawshi boladi, biraq (34) integralinin’ jaqinlasiwshi boliwi ushin u(t) nin’ shegaralaniwshilig’i jeterli bolmaydi (sebebi (34) integral isharasi astindag’i funktsiyanin’ mavhum bo’liminen aling’an integral (33) integralg’a qarag’anda to’men jaqinlasadi). Bul integraldin’ jaqinlasiwshi boliwi ushin ma’selen u(t) funktsiyanin’ da nolge funktsiyag’a qarag’anda a’sten umtilmaslig’i jeterli yag’niy bundag’i ixtiyariy o’zgermes san.
Misali. Joqari yarim tegislikte garmonik bolg’an ha’mde haqiyqiy oqtin’ (α, ) kesispesindegi 1 ge, bul oqtin qalg’an bo’liminde bolsa 0 ge ten’ funktsiya tabilsin.
Izlenip atirg’an funktsiyani (33) formulag’a tiykarlanip tez taba alamiz:

Eger z-α ha’m z- vektorlarinin’ haqiyqiy oq bolg’an payda etilgen mu’yeshinin’ φ_α ha’m arqali belgilesek aqirg’i formulani to’mendegishe jaziw mu’mkin:

) ekenligi su’wrette mko’rinedi.
Solay etip z noqattan kespe mu’yesh astinda ko’rinse u(z) funtsiya usi mu’yeshi π g’a bo’lingeng ten’ eken. Bul missal Shvarts formulasin da qollaw mu’’mkin:
(35)

Endi haqiyqiy onin’ noqatalari berilgen bolsin.
Joqari yarim tegisliktegi garmonik bolg’an ha’m , kesililpelerinde tuwri keliwshi o’zgermes ma’nislerin qabil etiwshi u(z) funktsiya tabilsin. (34) formulani qollaw na’tiyjesinde da’rxal sheshiledi.
yamasa (36)