Garmonikaliq funkciyalar

Qospa garmonik funkciyalar. ham funkciyalar G ilimde garmonik bolsa ham, funkciya G ilimde analitik bolmay qaliwi mumkin. Eger funkciya sol ilimde garmonik bolsa ni analitik funkciyaga aylandiratugin garmonik funkciyani tabiw ushin tomendegi



Dalamber-эйлер shartlerinen paydalaniw kerek mine usi shartler menen baylanisqan ham lar oz-ara qospa garmonik funkciyalar delinedi.
Berilgen garmonik funkciyaga qospa garmonik funkciyani bir neshe usil menen tabiw mumkin.
Birinshi usil. Dalamber-Эйлер shartinen:
(4)
Matematikaliq analiz kursinan malim bolganinday,



Anlatpa bir funkciyanin’ toliq differenciyalinan ibarat boliwi ushin (5)
Tenliktin orinlaniwi ushin ham jeterli. Demek,(5) tenlik orinli bolsa,
(6)
Mine usigan tiykarlanip, (4) tin on’ tarepin toliq differenciyal ekenligin teksereyik


ham


funkciya garmonik bolgani ushin aqirgi eki tenliktin’ on’ tarepleri oz-ara ten’. Sogan tiykarlanip (4)ti


Korinisinde jaziw mumkin. Bunnan usi
(7)
Bunda berilgen G ilimde qozgalmas z=x+iy bolsa ozgeriwshi toshka bolip бС-qalegen ozgermes san. Songi C qatnasqani ushin qa qospa garmonik bolgan funkciyalar sheksiz kop bolip, olar bir-birinen ozgermes san menen pariq qiladi, degen menen juwmaqqa kelimiz. C di aniqlap funkciyani tabiw ushin maselede qosimsha shart beriliwi kerek. Tap usi usilda, eger garmonik funkciya berilgen bolsa, ogan qosimsha bolgan garmonik funkciyani tomendegishe tabiw mumkin:


(8)

Sonday etip tomendegi teorema dalillendi.

Teorema. Bir baylanisli G ilimde garmonik bolgan qalegen funkciya usi ilimde analitik bolgan funkciyanin’ haqiyqiy yamasa jormal bolegi dep qabil etiliwi mumkin.
Eger G ilimde kop baylanisli bolsa (8) degi funkciya ham
lar bir manisli bolmay qaliwlari ham mumkin. Sol sebepli teoremani dalillewde G ilimdi bir baylanisli dep esaplanadi. Missal islegende (8),(9) larga itibar bersek ham ti tabiw ushin funkciyanin’ toliq differenciyali boyinsha ozin tabiw metodin qollaw talap etiliwin koremiz.


1-misal: funkciya har qanday shekli G ilimde analitik ekenligi belgili. Bul funkciyanin’ haqiyqiy ham jormal bolekleri G ilimde garmonik ekenligin tekseriw qiyin emes. Haqiyqatdan da



Bolip

Bulardan:

Mine usilardi (3) ge qoyilsa tenlemeni qanaatlandiradi. Tap usi usilda

Lardi qossaq ,(3) ti qanaatlandirganin koremiz.


2-misal: Sonday analitik funkciya tabilsin, jormal bolegi



Ibarat ham bolsin
Bunin’ ushin (9) formuladan paydalanamiz.



Bundagi:
Endi ti tomendegishe izleymiz.



Hazirshe bizge belgisiz funkciyalar



Eki tareptegi agzalar joq bolip ketip

Payda boladi. bunnan bolsa

Kelip shigadi. Demek,

Buni zarqali anlatpani islew maqsetinde uqsas agzalardi tomendegishe jaygastiramiz.



Biraq

Bolgani ushin
berilgen maseledegi shartten paydalansaq



Yagniy C=0 boladi. sonday etip



3-misal: joqaridagi missal tomendegi shartlerde sheshilsin:



Buni da aldingi usil menen sheshemiz.

Onda

Dan ti tabiw ansat

Bul integral integral y boyinsha aligani ushin x ga baylanisli kobeytiwshilerdi integral belgisi sirtina shigaramiz, waqtinsha
X+1=a
Menen belgilep alsaq

Demek

Endi ti tabiw maqsetinde eki tarepti x boyinsha differenciyalaymiz:



Eki tarepindegi bolshek joq bolip ketip



Ekenligi kelip shigadi. Demek,



Misalda f(1)=0 bolgani ushin x=1бн=0 boladi. sol sebepli
yagniy C=1 payda boladi
Demek,

On’ tarepindegi bolsheklerdi uliwma bolimge keltirip keyin

Ekenligin itibarga alsaq, tomendegi natiyjege erisemiz.