Garmonikaliq funkciyalar

R²+r²-2Rrcos(θ-α) R^?-2Rr+r²=(R-r)²
ten’sizlikten ko’rinip turg’aninday 0≤r≤R bolg’anda
(25)
ta’riptin’ r ha’m θ g’a qatnasi ixtiyariy ta’rtiptegi na’tiyjesi sol parametrlerinin’ u’zliksiz funktsiyasi ekenligi kelip shig’adi. Usig’an ko’re (24) integralin r ha’m θ boyinsha integral ishorasi astinda differentsiyallaw mu’mkin. Laplas operatorinda qutb koordinatalarina o’tip (25) funktsiyanin’ Laplas tenlemesin qanaatlandiriwin tekserip ko’riw qiyin emes. Solay etip (24) integral r (26)
Endi z=re^io (r0 =Re^ioθ noqatqa umtilg’anda u(r,θ) funktsiya φ(α₀ ) limitge umtiliwin ko’rsetiw kerek. Uliwmaliqtan shegaralanbay α₀ =0 dep aytiw mu’mkin, sebebi α qutb mu’yeshinin’ ma’nisi tek g’ana qutb og’i jo’nelisinin’ ta’nlap aliniwg’a baylanisli bolg’ani ushin qutb og’in iztiyariy ζ₀ЄC noqattan o’tkiziwimiz mu’mkin. Solay etip.

ten’likti da’lillew kerek.
(23) formuladan paydalanip, φ(0) ni bilay etip jazip alamiz:
(27)
(26) den (27) ni alamiz:
(28)
ixtiyariy on’ san bolsin φ(α) funktsiyanin’ α=0 noqattag’I u’zliksizden paydalanip >0 di sonday tan’laymiz, |α|<2 ( ) bolg’anda

U’zliksiz orinlansin. Keyin noqatlari ten’sizlikti qanatlandiriwshi C aylananin’ qaptalin menen qalg’an bo’legin Г menen belgilep alamiz. Onday jag’dayda (28)
+ (29)
(25) funktsiyanin’ on’ ekenligin itibarg’a alip (29) ten’sizliktegi boyinsha aling’an integraldi bahalaymiz:

φ(α) funktsiya |0, 2π| segmentda u’zliksiz bolg’ani ushin φ(α)=φ(0) ayirma usi segmentte shegaralg’an boladi:

(29) dag’i Г boyinsha aling’an integraldi ha’m jeterli kishi etip aliw mu’mkinligin ko’rsetiw ushin (r,0) noqatti
| |<
sha’rtin orinlanatug’in etip alamiz (z noqat ζ₀ g’a jeterli jaqin etip alinsa bul sha’rt orinlanadi).
Г qaptalinin’ noqatlarinda qutb mu’yesh intervalg’a tiyisli bolg’ani sebepli, usi noqatlar ushin intervalg’a tiyisli boladi. Sonin’ ushin to’mendegi ten’sizlikler orinlanadi:
<
<M <M
Bul ten’sizliktin’ on’ ta’repi da nolge umtiladi demek eger R-r< bolsa
.
Demek ha’m R-r< bolg’anda
|u(r,0)-φ(0)|<
ten’sizlik orinlanadi.
Solay etip shen’ber ushin Dirixle ma’selesinin’ sheshimi (26) formula arqali ta’riyplener eken.