Garmonikaliq funkciyalar

Ekinshi usil: Berilgen garmonik funkciyaga tiykarlanip ogan qospa garmonik funkciyani tabiwdin’ ekinshi usili menen tanisamiz.
Eger (5) shart orinlansa, matematik analiz kursinan bizge malim bolganinday (6) dagi belgisiz funkciya tomendegi formulalar arqali tabilar edi:


(9)


(10)
Eger M(x,y) ham N(x,y)funkciyalar putin tegislikte uzliksiz bolsa y onda dep aliw jane qolay boladi.
Endi eger garmonik funkciya berilgen bolsa (9) ham (10) formulalarga tiykarlanip, qospa garmonik v(x,y)funkciyani tomendegishe tabamiz. Malim bolganinday

Onda (9) tiykarlanip

(11)
Yamasa ((10)ga tiykarlanip
(12)

Eger v(x,y) garmonik funkciya berilgen bolip ogan qospa garmonik funkciyani izlew kerek bolsa, tap usi usildan paydalaniladi, yagniy

Anlatpadan (9) ham (10)larga tiykarlanip tomendegilerdi payda etiledi:

(13)
Yamasa


(14)


4-misal: ge tiykarlanipogan qospa garmonik bolgan v(x,y) funkciya,demek, analitik funkciya tabilsin.



Endi, (11)ge muwapiq koz aldimizga keltirsek



Usilarga tiykarlanip



Qalegen ozgermes Cti tabiw ushin qosimsha shart, misali
Shart berilgen boliwi kerek. Ol waqitta





Ushinshi usil. Analitik funkciyani, onin’ haqiyqiy yamasa jormal v(x,y) bolegine tiykarlanip, tabiw ushin jane bir usil bar. Onin’ ushin analitik funkciyanin’ tomendegi qasiyetlerinen paydalaniw kerek boladi. eger



Analitik funkciyada y=0 koz aldimizga keltirsek,


(15)

Bolip,aldingi f(z) funkciyanin’ ozi kelip shigadi, tek onin’ on’ tarepi basqa korinis aladi: u(z,0) ham v(z,0).

5-misal. F(z)=z*Z-3z+1 bolsin buni

Korinisinde jazip, y=0dep alsaq

Funkciya kelip shigadi Endi x ornina zqoysaq berilgen

Funkciya kelip shigadi.

Mine usi (15) tenlikten paydalanip (13),(14) lerden tomendegilerdi payda etiw qiyin emes

( 16)
(17)
Eger funkciya berilgen bolip, f(x)ti tabiw lazim bolsa,(16)formuladan paydalanamiz. Eger v(x,y) berilgen bolsa, f(x)ti(17)arqali tabiwga tuwri keledi.

F(x) funkciya aniqlangannan keyin (15)ge tiykarlanip xornina я йщншц lazim.

6-misal: tiykarlanip f(z)analitik funkciya tabilsin (1^)dan paydalanamiz:



Bunda y=0bolsa

Onda (16) dan

Endi x ornina я йщншдыф tabilip atirgan funkciya

Kelip shigadi.

7-misal. ge tiykarlanip f(z)analitik funkciya tabilsin

Bunin’ ushin (17) ten paydalanamiz:

Onda

Endi xornina яеш йщныфйбишя izlegen analitik funkciya payda boladi: