Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

Isbot. Operatorning spektri regulyar nuqtalar to‘plamining to‘ldiruvchi to‘plami bo‘lgani uchun, ning ochiq to‘plam ekanligini ko‘rsatish yetarli. Endi ixtiyoriy nuqta bo‘lsin, ya’ni operatorning teskarisi mavjud va chegaralangan bo‘lsin. U holda barcha lar uchun operatorning ham chegaralangan teskarisi mavjud. Demak, nuqta o‘zining atrofi bilan ga qarashli ekan. Bu esa nuqtaning to‘plam uchun ichki nuqta ekanligini bildiradi. ning ixtiyoriyligidan ning ochiq to‘plam ekanligi kelib chiqadi. Demak, yopiq to‘plam.

Quyidagi tasdiqni isbotsiz keltiramiaz.

3.4-teorema. o‘z-o‘ziga qo‘shma operator bo‘lsin: U holda:

(a) -- bo‘sh to‘plam.

(b) to‘plam ning qismi, ya’ni

(c) operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o‘zaro ortogonaldir.

3.1-misol. Hilbert fazosida erkin o‘zgaruvchi ga ko‘paytirish operatori ya’ni



operatorni qaraymiz. Uning nuqtali, qoldiq va muhim spektrini toping.

Yechish. tenglikka ko‘ra, 3.4-teoremaning (a) tasdig‘iga ko‘ra, . Ma’lumki,

ya’ni (3.2)

tenglama ixtiyoriy uchun yagona nol yechimga ega. Demak, operator xos qiymatlarga ega emas, ya’ni . (3.2) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligidan. tenglamaning ixtiyoriy da yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Ko‘rsatish mumkinki operatorga teskari operator

(3.3)

formula bilan aniqlanadi. Agar bo‘lsa, u holda natijada operator fazoning hamma yerida aniqlangan va Banax teoremasiga ko‘ra, u chegaralangan bo‘ladi. Demak, regulyar nuqta, ya’ni Lekin (16.3) formula bilan aniqlangan teskari operator bo‘lganda fazoning hamma yerida aniqlanmagan. Demak, Bulardan, Endi operatorning spektridagi ixtiyoriy nuqta uning muhim spektriga qarashli ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun



deymiz. Ma’lum nomerdan boshlab bo‘ladi va bunday nomerlar uchun tenglik o‘rinli. Bundan tashqari har xil va larda bo‘lgani uchun tenglik o‘rinli, ya’ni ortonormal sistema ekan. Ma’lumki, ixtiyoriy ortonormal sistema nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashadi, shuning uchun ketma-ketlik ham nolga kuchsiz ma’noda yaqinlashadi. Endi norma kvadratini hisoblaymiz:



Demak, ta’rifga ko‘ra, son operatorning muhim spektriga qarashli ekan. nuqtani operatorning muhim spektriga qarashli bo‘lishini o‘quvchiga mustaqil isbotlash uchun qoldiramiz. Shunday qilib, operatorning spektri faqat muhim spektrdan iborat bo‘lib, u kesma bilan ustma-ust tushadi. Xulosa