Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

3.4. Quyidagicha savol qo‘yamiz. Hilbert fazosida shunday chiziqli operatorga misol keltiringki, uning spektri oldindan berilgan yopiq to‘plam bilan ustma-ust tushsin.

Yechish. Kompleks sonlar to‘plami separabel metrik fazo bo‘lgani uchun, uning hamma yerida zich sanoqli to‘plam mavjud. U holda to‘plam sanoqli va ning hamma yerida zich bo‘ladi. Endi to‘plam elementlarini nomerlab chiqamiz va 3.3-misolda qaralgan, (3.5) tenglik bilan aniqlanuvchi operatorni qaraymiz. 3.3-misolda ko‘rsatilganidek



Bu yerda, biz deb olishimiz ham mumkin. Demak, spektri butun kompleks sonlar to‘plami bilan ustma-ust tushuvchi chiziqli operator mavjud ekan. Bu holda ta’rifga ko‘ra, bo‘ladi. Shuni ta’kidlaymizki, agar yopiq to‘plam chegaralangan bo‘lsa, u holda spektri bilan ustma-ust tushuvchi operator ham chegaralangan bo‘ladi va aksincha.

Mustaqil ishlash uchun savol va topshiriqlar

1. 
   Chekli o‘lchamli fazolarda operatorning spektri faqat chekli sondagi xos qiymatlardan iborat ekanligini ko‘rsating.
   
2. 
   operatorning spektrini toping. Bu yerda uzluksiz funksiya.
   
3. 
   fazoda integral operatorning xos qiymatlarini toping:
   

.

4. 
   Birlik operatorning spektrini toping.
   
5. 
   ,
   

operatorning xos qiymatlarini toping.

6. 
   Yuqorida keltirilgan operatorning nuqtadagi rezolventasini toping.
   
7. 
   lar chiziqli operatorning xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari bo‘lsin. larning chiziqli erkli (chiziqli bog‘lanmagan) ekanligini isbotlang.
   
8. 
   Spektri birlik doiradan iborat bo‘lgan operatorga misol keltiring.
   
9. 
   Spektri to‘plamdan iborat bo‘lgan chiziqli operator mavjudmi? Mavjud bo‘lsa misol keltiring.
   

3.1-misolda nuqtani operatorning muhim spektriga qarashli ekanligini isbotlang.