Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

3.2. 3.1-misolda qaralgan operatorni Banax fazosida, ya’ni



operatorni qaraymiz. Uning nuqtali va qoldiq spektrini toping.

Yechish. Ma’lumki, ((3.2) ga qarang)

ya’ni (3.4)

tenglama ixtiyoriy uchun yagona nol yechimga ega. Demak, operator xos qiymatlarga ega emas, ya’ni (4.4) tenglama faqat nol yechimga ega ekanligida. tenglamaning ixtiyoriy da yagona yechimga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, operatorga teskari operator mavjud va u (3.3) formula bilan aniqlanadi. Xuddi 3.1-misoldagi kabi ko‘rsatishimiz mumkinki, tenglik o‘rinli. Haqiqatan ham, agar bo‘lsa, u holda (3.3) ning o‘ng tomoni ixtiyoriy da uzluksiz funksiya bo‘ladai, ya’ni va teskari operatorlar haqidagi Banax teoremasiga ko‘ra, operator chegaralangan bo‘ladi, demak regulyar nuqta, ya’ni Agar bo‘lsa, u holda (3.3) formula bilan aniqlangan operator fazoning hamma yerida aniqlanmagan, bundan Bulardan, ekanligi kelib chiqadi. Endi ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy uchun operatorning qiymatlar sohasi



fazoda zich emas. Haqiqatan ham, chiziqli ko‘pxillilikdagi ixtiyoriy uchun shart bajariladi. Agar biz desak, u holda ixtiyoriy uchun



tengsizlik o‘rinli. Demak, chiziqli ko‘pxillilikdan elementga yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin emas. Qoldiq spektr ta’rifiga ko‘ra, ixtiyoriy uchun munosabat o‘rinli. Bundan kelib chiqadi. Teskari munosabat doim o‘rinli. Demak,

3.1 va 3.2-misollarda bir xil qonuniyat bo‘yicha ta’sir qiluvchi operator har xil va fazolarda qaralgan. Har ikki holda ham operatorning spektri kesma bilan ustma-ust tushgan, lekin spektrning qismlarida (strukturasida) o‘zgarish bo‘ldi. Birinchi holda (16.1-misolda) edi, ikkinchi holda