Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.1-tasdiq. Agar operator uchun ham chap teskari, ham o‘ng teskari operatorlar mavjud bo‘lsa, u holda ular o‘zaro teng.

Isbot. uchun chap teskari, o‘ng teskari operatorlar bo‘lsin, u holda

(1.2)

1.1-misol. , operatorga chap teskari operatorni toping. o‘ngga siljitish operatori deyiladi.

Yechish. bilan chapga siljitish operatorini belgilaymiz:

.

Endi operatorning elementga ta’sirini qaraymiz.

.

Demak, operator uchun chap teskari operator ekan.

1.2. 1.1-misolda keltirilgan operatorga o‘ng teskari operator mavjudmi?

Yechish. Faraz qilaylik, ga o‘ng teskari operator mavjud bo‘lsin. Uni orqali belgilaymiz. 1.1-tasdiqqa ko‘ra (1.1-misolga qarang) bo‘ladi, ya’ni

.

Endi operatorning elementga ta’sirini qaraymiz.

.

Demak, operator uchun o‘ng teskari operator emas ekan. Bundan uchun o‘ng teskari operatorning mavjud emasligi kelib chiqadi.