Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.3-teorema. chiziqli operator teskarilanuvchan bo‘lishi uchun tenglama faqat yechimga ega bo‘lishi zarur va yetarli.

Isbot. Zaruriyligi. teskarilanuvchan bo‘lsin. U holda tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. chiziqli bo‘lgani uchun bu yechim bo‘ladi.

Yetarliligi. tenglama faqat nol yechimga ega bo‘lsin, u holda ixtiyoriy uchun tenglama yagona yechimga ega bo‘ladi. Teskarisini faraz qilaylik, biror uchun yechim ikkita bo‘lsin, ya’ni . U holda bo‘ladi. Shartga ko‘ra, . Bundan .

1.4-teorema. chiziqli normalangan fazoni chiziqli normalangan fazoga akslantiruvchi chiziqli operator berilgan bo‘lsin. da chegaralangan operator mavjud bo‘lishi uchun, shunday son mavjud bo‘lib, ixtiyoriy lar uchun

(1.9)

tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.