Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

1.7. Endi Hilbert fazosini o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi

operatorni qaraymiz. operator 14.4-teorema shartlarini qanoatlantiradimi? ga chegaralangan teskari operator mavjudmi?

Yechish. operatorning chiziqli ekanligi oson tekshiriladi. Endi operator uchun 1.4-teoremaning (1.9) sharti bajarilishini ko‘rsatamiz. Buning uchun normani quyidan baholaymiz.

.

Biz bu yerda tengsizlikdan hamda integralning monotonlik xossalaridan foydalandik. So‘nggi tengsizlikdan tengsizlik kelib chiqadi. Bu yerda son sifatida dagi ixtiyoriy sonni olish mumkin. 14.4-teorema tasdig‘idan foydalansak, ga chegaralangan teskari operator mavjudligi hamda tengsizlik kelib chiqadi. Aslida tenglik o‘rinli. ∆

1.5-teorema. - Banax fazosi va . Agar bo‘lsa, u holda operator uchun chegaralangan teskari operator mavjud.

Isbot. fazoda quyidagi formal qatorni qaraymiz:

. (1.10)

Ma’lumki, . Xuddi shuningdek, . U holda (14.10) qatorning

qismiy yig‘indilari ketma-ketligi Koshi shartini qanoatlantiradi, ya’ni

.

(1.10) qatorning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi - fundamental ekan, to‘la bo‘lgani uchun

.

Shunday qilib,

.

Bundan tashqari

Xuddi shunday ko‘rsatish mumkinki, . Demak, operator operator uchun teskari operator ekan. operatorning normasi

.

Demak, operator chegaralangan va uning normasi

tengsizlikni qanoatlantiradi. ∆