Gilbert-shmidt teoremasi. Spekt va rezolventa 1 Teskari operatorlar

2.1-ta’rif. Bizga chiziqli normalangan fazolar va chiziqli chegaralangan operator berilgan bo‘lsin. Agar biror operator va ixtiyoriy lar uchun

tenglik o‘rinli bo‘lsa, operator ga qo‘shma operator deyiladi.

Demak, har bir funksionalga (2.3) tenglik bilan aniqlanuvchi funksionalni mos qo‘yuvchi operator operatorga qo‘shma operator deb ataladi.

Qo‘shma operatorlar quyidagi xossalarga ega:

1. operator chiziqli.

2.

3. Ixtiyoriy son uchun

4. Agar uzluksiz bo‘lsa, u holda ham uzluksiz bo‘ladi.

Aniqrog‘i, quyidagi tasdiq o‘rinli.

2.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va

tenglik o‘rinli.

Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko‘ra,

Bu yerdan

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak,

(2.4)

Endi shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo‘lsin, deymiz. Ko‘rinib turibdiki, Xan-Banax teoremasining natijasiga ko‘ra, shunday funksional mavjudki, va ya’ni

Bu yerdan,

tenglikka ega bo‘lamiz. U holda

munosabatdan

(2.5)

tengsizlikni olamiz. (2.4) va (2.5) munosabatlardan

tenglik kelib chiqadi.