Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

8-ta`rif. Agar
1) soni to`plamning yuqori chegarasi bo`lsa,
2) to`plamning ixtiyoriy yuqori chegarasi uchun tengsizlik bajarilsa, soni to`plamning aniq yuqori chegarasi deyiladi va kabi belgilanadi:

.
Demak, to`plamning aniq yuqori chegarasi, uning yuqori chegaralari orasida eng kichigi bo`ladi.

9-ta`rif. Faraz qilaylik, to`plam va soni berilgan bo`lsin. Agar
1) son to`plamning quyi chegarasi bo`lsa,
2) to`plamning ixtiyoriy quyi chegarasi uchun tengsizlik bajarilsa, soni to`plamning aniq quyi chegarasi deyiladi va kabi belgilanadi:

.
Demak, to`plamning aniq quyi chegarasi, uning quyi chegaralari orasida eng kattasi bo`ladi.

“sup” va “inf” lar lotincha “supremum” va “infimum” so`zlaridan olingan bo`lib, ular mos ravishda eng yuqori, eng quyi degan ma`nolarni anglatadi.

1-teorema. Faraz qilaylik, to`plam va soni berilgan bo`lsin. a soni to`plamning aniq yuqori chegarasi bo`lishi uchun
1) soni to`plamning yuqori chegarasi,
2) sonidan kichik bo`lgan ixtiyoriy uchun to`plamda tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonining topilishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik,

bo`lsin. 8-ta`rifga binoan:

1) uchun , ya`ni soni to`plamning yuqori chegarasi;
2) soni yuqori chegaralar orasida eng kichigi. Binobarin, dan kichik soni uchun bo`lgan soni topiladi.


Etarliligi. Teoremaning ikkala sharti bajarilsin. Bu holda, ravshanki, shartni qanoatlantiruvchi har qanday soni to`plamning yuqori chegarasi bo`lolmaydi. Demak, ‑ to`plamning yuqori chegaralari orasida eng kichigi. Unda ta`rifga ko`ra
bo`ladi. ►
Xuddi shunga o`xshash quyidagi teorema isbotlanadi.

2-teorema. Faraz qilaylik, to`plam va soni berilgan bo`lsin. soni to`plamning aniq quyi chegarasi bo`lishi uchun
1) soni to`plamning quyi chegarasi,
2) sonidan katta bo`lgan ixtiyoriy uchun to`plamda tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonining topilishi zarur va etarli.