Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

4-ta`rif. { } to`plamning aniq yuqori chegarasi sonidan sonining ayirmasi deyiladi va kabi belgilanadi.

Eslatma. 1) Haqiqiy sonlar ustida bajariladigan qo`shish, ko`paytirish, ayirish va bo`lish amallarini to`plam-ning aniq quyi chegarasi orqali ham ta`riflash mumkin.
Masalan, va haqiqiy sonlar yig`indisi quyidagicha ta`riflanadi:

.
Haqiqiy sonlarda, yuqorida kiritilgan amallar o`rta maktab matematika kursida o`rganilgan amallarning barcha xossalarga ega.

2⁰. Haqiqiy sonning darajasi. Avval haqiqiy sonning 0-hamda - darajalari ( ) quyidagicha
aniqlanishini ta`kidlaymiz.


Teorema (isbotsiz). Faraz qilaylik, va bo`lsin. U holda shunday yagona musbat soni topiladiki,
bo`ladi.

5-ta`rif. Musbat haqiqiy sonining darajali ildizi deb ushbu
tenglikni qanoatlantiruvchi yagona soniga aytiladi va

kabi belgilanadi.

Aytaylik, musbat haqiqiy son, esa musbat ratsional son bo`lsin:

.
Bu holda sonining - darajasi quyidagicha

aniqlanadi.


6-ta`rif. Faraz qilaylik, haqiqiy sonlari berilgan bo`lsin, sonining darajasi deb ushbu to`plamning aniq yuqori chegarasiga aytiladi:

bunda

3⁰. Haqiqiy sonning absolyut qiymati. Aytaylik son berilgan bo`lsin. Ushbu
miqdor sonining absolyut qiymati deyiladi.
Haqiqiy sonning absolyut qiymati quyidagi xossalarga ega:
1) son uchun

munosabatlar o`rinli,

2) ,

,
3) sonlar uchun

bo`ladi.

Bu xossalarning isboti bevosita sonning absolyut qiymati ta`rifidan kelib chiqadi. Ulardan birini, masalan bo`lishini isbotlaymiz.

◄ Aytaylik, bo`lsin. Unda bo`ladi. bo`lishini e`tiborga olib topamiz:

Endi bo`lsin.

Unda bo`ladi. bo`lishini e`tiborga olib topamiz:

. ►

1-misol. Ushbu

(3)
tengsizlik ning qanday qiymatlarida o`rinli bo`ladi?

◄ Sonning absolyut qiymati xossasidan foydalanib topamiz:

.
Demak, (3) tengsizlik ixtiyoriy uchun o`rinli bo`ladi. ►

Barcha manfiy bo`lmagan haqiqiy sonlar to`plamini bilan belgilaylik. Ravshanki, .
Har bir haqiqiy songa uning absolyut qiymati ni mos qo`yish bilan ushbu

akslantirishga ega bo`lamiz.

Demak haqiqiy sonning absolyut qiymati to`plamni to`plamga akslantirish deb qaralishi mumkin.
Ixtiyoriy sonlarni olaylik. Ushbu

miqdor va nuqtalar orasidagi masofa deyiladi va kabi belgilanadi:

.
Masofa quyidagi xossalarga ega:

1)
2)
3)