Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

4⁰. Bernulli tengsizligi. N’yuton binomi formulasi. Ixtiyoriy ( ) hamda ixtiyoriy uchun ushbu

(4)
tengsizlik o`rinli.

◄ Bu tengsizlikni matematik induktsiya usuli yordamida isbotlaymiz.
Ravshanki, da (4) tengsizlik (tasdiq) o`rinli bo`ladi

Endi da (4) munosabat o`rinli deb, uni uchun ham o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz. (4) tengsizlikning har ikki tomonini ga ko`paytirib topamiz:

Matematik induktsiya usuliga binoan (4) munosabat ixtiyoriy uchun o`rinli bo`ladi.►
(4) tengsizlik Bernulli tengsizligi deyiladi.
Endi N’yuton binomi formulasini keltiramiz.
Ma`lumki, da
bo`ladi. Umuman, ixtiyoriy da

(5)
bo`ladi, bunda

(5) tenglik ham matematik induktsiya usuli yordamida isbotlanadi.
◄ Ravshanki, da Demak, bu holda (5) tenglik o`rinli. endi (5) tenglik uchun o`rinli bo`lsin deb, uni uchun ham o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz. (5) tenglikning har ikki tomonini ga ko`paytirib topamiz:
Ravshanki,

Demak,

bo`ladi. Bu esa (5) tenglik bo`lganda ham bajarilishini ko`rsatadi. ►
Odatda (5) tenglik N’yuton binomi formulasi deyi-ladi.
5<sup>0</sup>. Ichma-ich joylashgan segmentlar printsipi. Ma`lumki, ushbu
to`plam segment deb ataladi.
Aytaylik, va segmentlar berilgan bo`lsin. Agar
bo`lsa, segment segmentning ichiga joylashgan deyiladi. Bu holda bo`ladi.


7-ta`rif. Agar (6)
cegmentlar ketma-ketligi quyidagi

munosabatda, ya`ni da

bo`lsa, (6) ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi deyiladi.


Teorema. Aytaylik,
cegmentlar ketma-ketligi quyidagi shartlarni bajarsin:
1)
2) bo`lsin.
U holda shunday mavjud bo`ladiki, bo`lib, bunday c yagona bo`ladi.
◄ Teoremada qaralayotgan segmentlar ketma-ketligi ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi bo`ladi. Ravshanki, bu holda ushbu

munosabat bajariladi.

Endi sonlaridan tashkil topgan
to`plamni qaraymiz. Bu to`plamning yuqoridan chegaralangan-ligini ko`rsatamiz.
Ixtiyoriy natural m sonini olib, uni tayinlaymiz.
Agar bo`lsa, bo`lib, ya`ni bo`ladi.
Agar bo`lsa, bo`lib, ya`ni bo`ladi.
Aniq yuqori chegara haqidagi teoremaga ko`ra

mavjud bo`ladi.

To`plamning aniq yuqori chegarasi ta`rifiga binoan

da va da bo`ladi.

Demak,

da
Agar shu nuqtadan farqli va barcha segmentlarga tegishli mavjud deb qaraladigan bo`lsa, unda

bo`lib, bu teoremaning 2-shartiga zid bo`ladi.
Demak, ►.
Odatda bu teorema ichma-ich joylashgan segmentlar printsipi deyilib, u haqiqiy sonlar to`plamining uzluksizlik (to`liqlik) xossasini ifodalaydi.
Mashqlar
1. Ixtiyoriy haqiqiy sonlar uchun

bo`lishi isbotlansin.

2. Ikki haqiqiy son yig`indisi ta`rifidan foydala-nib ushbu
tengliklar isbotlansin.