Gulmirza Xudoyberganov, Azizjon Kenjabaevich Vorisov, Hojakbar Turobovich Mansurov, Bohodir Allaberdievich shoimqulov

Eslatma. Agar to`plam yuqoridan chegaralanmagan bo`lsa, u holda

,
quyidan chegaralanmagan bo`lsa, u holda

deb olinadi.


2⁰. Aniq chegaralarning mavjudligi.
Aytaylik,

musbat haqiqiy son bo`lsin, bunda

Ushbu

ratsional sonlar uchun

bo`ladi.

Demak, ixtiyoriy haqiqiy son olinganda shunday ikkita ratsional son topiladiki, ulardan biri shu haqiqiy sondan kichik yoki teng, ikkinchisi esa katta bo`ladi.

Endi sonlar to`plamining aniq chegaralarining mavjudligi haqidagi teoremalarni keltiramiz.


3-teorema. Agar bo`sh bo`lmagan to`plam yuqoridan chegaralangan bo`lsa, uning aniq yuqori chegarasi mavjud bo`ladi.
Bu teoremani

to`plam uchun isbotlaymiz.

◄ to`plam yuqoridan chegaralangan bo`lsin:
Arximed aksiomasini e`tiborga olib, deyish mumkin.
Endi to`plam
elementlarining butun qismlaridan, ya`ni laridan iborat to`plamni deylik:

.
Bu to`plam ham yuqoridan M soni bilan chegaralangan va Ravshanki, . Bundan to`plamning chekli ekanligini topamiz. Demak, to`plamning eng katta elementi mavjud. Uni deylik:

(1)

to`plamning
ko`rinishdagi barcha elementlaridan iborat to`plamni deb olamiz:

.
Ravshanki,

Endi to`plam
elementlarining laridan iborat to`plamni olib, uni deylik:

Bu chekli to`plam bo`lib, bo`ladi. SHuning uchun uning eng katta elementi mavjud. Uni deb olamiz:

(2)

to`plamning
ko`rinishdagi barcha elementlaridan iborat to`plamni deb olamiz:

Ravshanki, .

Endi to`plam
elementlarining laridan iborat to`plamni olib, uni deylik:

Bu to`plam ham chekli va bo`lib, uning eng katta elementi mavjud:

(3)

to`plamning
ko`rinishdagi barcha elementlaridan iborat to`plamni deb olamiz:

Bu jarayonni davom ettira borish natijasida

haqiqiy son hosil bo`ladi.
Endi to`plam va bu son uchun 1-teoremaning ikkala shartlarini bajarilishini ko`rsatamiz:
1) YUqoridagi (1) munosabatga ko`ra uchun bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda bo`lib, (2) munosa-batga ko`ra bo`ladi.
Agar bo`lsa u holda bo`ladi.
Agar bo`lsa, u holda bo`lib, (3) munosabatga ko`ra bo`ladi.
Bu jarayonni davom ettirish natijasida ikki holga duch kelamiz:
a) shunday topiladiki,

bo`lib, bo`ladi.

b) ixtiyoriy da bo`lib, bo`ladi.
Demak, har doim munosabat o`rinli bo`ladi;
2) sondan kichik bo`lgan ixtiyoriy
haqiqiy sonni olaylik:

Unda shunday topiladiki,

bo`ladi. SHuni e`tiborga olib, uchun

bo`lishini topamiz.

SHunday qilib teoremada keltirilgan to`plam va soni uchun 1-teoremaning ikkala shartining bajarilishi ko`rsatildi. Unda 1-teoremaga muvofiq to`plamning aniq yuqori chegarasi mavjud va
bo`lishi kelib chiqadi. ►
Xuddi shunga o`xshash quyidagi teorema isbotlanadi.