Гязянфяр рцстямов автоматик

Мисал 6.12. Ашаьыдакы тянликля йазылан системин тривиал, йяни 

0



x

 

щяллинин дайаныглыьыны йохлайын. 

 

2

1

1

cos

1

dt

d

x

x

x







, 

2

2

1

2

dt

d

x

x

x





. 

 

116 

 

 

  

Шякил 6.80 

 

Эюрцндцйц  кими, 

0

1



x

, 

0

2



x

  гиймятляри 

0

)

0

(

f

)

0

(

f

2

1





 

шяртини юдяйир. Ямсаллары щесаблайаг. 

1

0

sin

1

f

a

2

2

1

1

11



















x

x

x

, 

0

0

sin

f

a

2

2

1

2

12













x

x

x

, 

0

0

2

f

a

1

1

1

2

21













x

x

x

,  

1

f

a

2

2

22











x

. 



















1

   

  

0

0

1

A

 олдуьундан биринъи йахынлашма тянлийт 

 

 

1

1

dt

d

x

x





, 

2

2

dt

d

x

x





 . 

Характеристик тянлик 

 

0

)

1

(

0

0

1

2



















1

 

   

. 

1

2

1











 . 

Кюклярин  щяр  икиси  сол  йарыммцстявидя  йерляшдийиндян,  йяни 

0

Re

2

,

1





  шярти  юдянилдийиндян 

0



x

  нюгтяси  дайаныглы  таразлыг 

нюгтясидир.  

117 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.13. Гейри-хятти системлярин дайаныглыьынын Лйапуновун          икинъи 

(бирбаша) цсулу ясасында тяйини  

 

118 

 

Бу цсул Лйапуновун кичикликдя дайаныглыьы тяйин етмяк цчцн нязярдя 

тутулан биринъи цсулундан фяргли олараг динамик системлярин дайаныглыьыны 

бюйцклцкдя  вя  бцтювлцкдя  тящлил  етмяйя  имкан  вердийиндян  мцщяндис 

практикасы цчцн даща ящямиййятлидир. 

Динамик системлярин дайаныглыьына адятян сыфыр таразлыг нюгтясиня, 

йяни  координат  башланьыъына  нязярян  тяйин  едирляр.  Координат 

башланьыъында  олмайан  таразлыг  нюгтялярини  тядгиг  етмяк  цчцн 

дяйишянляри  явяз  етмякля  координат  башланьыъыны  бу  нюгтяйя 

сцрцшдцрцб мясяляни йеня 

0



x

 тривиал щяллин дайаныглыьынын тяд-

гигиня эятирмяк мцмкцндцр. 

Лйапуновун  икинъи  цсулу  о  сябябдян  бирбаша  цсул  адланыр  ки,  о 

тябиятин  диалектик  ганунуна  ясасланыб.  Щягигятян,  яэяр  хариъи 

тясирляря мяруз галмайан автоном динамик системин физики олараг 

мцсбят  олан  цмуми  енержиси  вахт  кечдикъя  сыфыра  гядяр  монотон 

азаларса,  бу  о  демякдир  ки,  систем  таразлыг  вязиййятиня  чатыб. 

Яэяр конкрет систем цчцн бу хцсусиййяти арашдыра билсяк, обйектин 

вя  йа  системин  диференсиал  тянлийини  щялл  етмядян  онун  дайаныглы 

олуб-олмамасы  щаггында  мцщакимя  йцрцтмяк  олар.  Бундан 

башга, беля йанашма мцщяндис практикасы цчцн даща юнямли олан 

бюйцклцкдя  дайаныглыьы  вя  бцтювлцкдя  асимптотик  дайаныглыьы 

ашкар етмяйя имкан верир. 

Фярз  едяъяйик  ки,  координатлары  явяз  етдикдян  сонра  координат 

башланьыъы  таразлыг  нюгтясиня  эятирилмишдир.  Бу  щалда  автоном 

системин тянлийини ашаьыдакы шякилдя йазмаг олар: 

 

 

. 

........

..........

..........

  

, 

, 

)

,

,

,

(

f

dt

d

)

,

,

,

(

f

dt

d

)

,

,

,

(

f

dt

d

n

2

1

n

n

n

2

1

2

2

n

2

1

1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x













 

(6.98) 

Вя йа вектор формада: 

119 

 

 

 

)

(

dt

d

x

f

x



, 

0

)

0

(



f

 . 

Бурада  

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



 н-юлчцлц вязиййят вектору; 

             

т

n

2

1

)

f

,

,

f

,

f

(





f



 гейри-хятти вектор-функсийадыр. 

Тядгигатлар  (6.98)  тянликляр  системи  цчцн  координат  башланьыъынын  дахил 

олдуьу  ачыг  Б  областында  мцсбят, 

0



x

  нюгтясиндя  ися  сыфыра  бярабяр 

олан  мцяййян  хассяли 

)

(

V x

  енерэетик  функсийасынын  ахтарылмасындан 

башланыр.  Беля  функсийа  мцсбят  мцяййян 

функсийа  адланыр.  Мцсбят  мцяййян 

функсийа 

B

x



  областында 

0

)

(

V



x

, 

0



x

  вя 

0

)

(

V



x

, 

0



x

  шяртлярини 

юдяйир. 

Шякил  6.81-дя 

)

(

V x

  функсийасынын 

щяндяси  тясвири  эюстярилмишдир.  Шякилдя 

эюстярилян  бярабяр  сявиййя  хятляри 

цзяриндя  функсийанын  гиймяти  сабит  галыб 

const

c

c

с

V

3

2

1









 шяртини юдяйир. 

Системин дайаныглы олуб-олмамасы, щятта типи 

)

(

V x

 функсийасынын (6.98) 

системинин  щярякят  трайекторийасы  цзря  дяйишмя  характериндян  асылыдыр. 

Дяйишмянин характерини 

)

(

V x

 функсийасынын 

)

(

V x



 тюрямясинин ишарясини 

тящлил етмяк йолу иля мцяййян етмяк олар.  

0

V





 оларса, 

V

 монотон 

азалан, 

0

V





  оларса 



 монотон  артан,  сыфыра  бярабярдирся 



 

const

V



, ишаряси нювбяляширся 



 рягси шякилдя олур. 

 Ялбяття, бу хассялярин  цчцня дя ъаваб верян 

)

(

V x

 функсийасынын 

ахтарылмасы мцряккяб мясялядир. Бу сябябдян тюрямясинин ишаряси мянфи 

вя  йа  сыфыра  бярабяр  олан 

)

(

V x

  функсийасынын  мювъуд  олмасыны 

йохлайырлар.  Яэяр 

0

)

(

V



x



  шярти 

B

B

1





x

  нюгтяляри  цчцн  юдяни-

лярся, онда  

1

B  областында 

const

)

(

V



x

 олдуьундан систем щяр щансы 

бир сявиййя хятти цзря щярякят едяряк авторягс режиминя дцшцр. Бу щалда 

да  систем  дайаныглы  щесаб  олунур,  лакин  бу  тип  дайаныглыг  орбитал 

дайаныглыг адланыр. 

 

          

   Шякил 6.81 

120 

 

Беляликля, 

)

(

V x



  функсийасы 

B



x

  областында 

0

)

(

V



x



  шяртини 

юдямялидир. Беля функсийа мянфи йарыммцяййян функсийа адланыр. Яэяр 

)

(

V x



 функсийасы мянфи мцяййян функсийа оларса, йяни 

0

)

(

V



x



,

0



x

 

вя 

0

)

0

(

V





, онда 

0



x

 нюгтяси асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтяси-

дир. 

)

(

V x

 функсийасынын (6.98) системинин 

)

t

(

x

 трайекторийасы цзря дяйишмя 

ганунауйьунлуьу 

)

(

V x

  чохдяйишянли  мцряккяб  функсийадан  тюрямя 

алмаг йолу иля тапылмыш ифадянин кюмяйи иля тяйин олунур: 

 





















n

1

i

n

2

1

i

i

n

1

i

i

i

)

,

,

,

(

f

V

dt

d

V

)

(

V

x

x

x

x

x

x



 x

 

(6.99) 

  Вяйа вектор шяклиндя:  

 

)

(

V

)

(

)

gradV

(

)

(

V

т

т

x

f

x

f

x









. 

Бурада   

т

n

2

1

V

,

,

V

,

V

V

gradV































x

x

x



. 

Эюрцндцйц кими, 

)

(

V x



 функсийасыны тяртиб етмяк цчцн (6.98) тянлийинин 

щяллини билмяк тяляб олунмур. 

Йухарыдакы мцлащизяляр Лйапуновун икинъи цсулунун ясасыны тяшкил едир. 

Беляликля,  (6.98)  системинин  дайаныглы  олмасынын  кафи  шярти  ашаьыдакы 

хцсусиййятляря малик олан 

)

(

V x  функсийасынын мювъуд олмасыдыр: 

1. 

)

(

V x

  функсийасы 

r

||

||



x

  сферасы  иля  мящдуд  олан  координат  баш-

ланьыъынын ачыг Б областы ятрафында кясилмяз функсийа олуб, биринъи тяртиб 

кясилмяз тюрямяляря малик олмалыдыр. Тюрямялярин мювъудлуьу онларын 

(6.99) ифадясиня дахил олдуьу цчцн лазымдыр. 

2. 

)

(

V x

 функсийасы Б областында мцсбят мцяййян функсийа олмалыдыр. 

3. 

)

(

V x   функсийасынын  Б  областында 

f(x)

x





  системинин  трайекторийасы 

цзря  дяйишмясини  характеризя  едян 

)

(

V x



  функсийасы  мянфи 

йарыммцяййян функсийа олмалыдыр. 

Бу шяртляри юдяйян 

)

(

V x  функсийасы Лйапунов функсийасы, Б областы ися 

дайаныглыг вя йа ъязболунма областы адланыр. 

121 

 

Йухарыдакы  хцсусиййятляри  ашаьыда  шярщ  олунмуш  теоремляр  шяклиндя 

цмумиляшдирмяк олар. 

Теорем 1 (дайаныглыг щаггында Лйапуновун биринъи теореми). Координат 

башланьыъынын дахил олдуьу Б областында (6.98) системи цчцн Лйапунов 

функсийасы мювъуд оларса, 

0



x

 нюгтяси дайаныглы таразлыг нюгтясидир.  

Теорем 2 (дайаныглыг  щаггында  Лйапуновун  икинъи  теореми).  (6.98) 

системи  цчцн  координат  башланьыъынын  дахил  олдуьу  ачыг  Б  областында 

тюрямяси  мянфи  мцяййян,  йяни 

0

)

(

V



x



  олан  Лйапунов  функсийасы 

мювъуд  оларса,  координат  башланьыъы  асимптотик  дайаныглы  таразлыг 

нюгтясидир. 

Дайаныглыьа намизяд олан 

0



x

 таразлыг нюгтясинин р радиуслу сфера 

иля  мящдудлашдырылмасы  онун  цчцн  лазымдыр  ки,  ятрафда  башга 

таразлыг нюгтяляриня апаран ъязболунма областлары да ола биляр. 

Яэяр 

n

R

B



,  йяни  ъязболунма  областы  бцтцн  вязиййят  фязасы 

оларса, онда систем бцтювлцкдя асимптотик дайаныглыдыр. Бу хцсу-

сиййят хятти системляря аиддир. 

Тяясцф ки, Лйапуновун теоремляри бязи садя щаллары чыхмаг шярти 

иля Б дайаныглыг областыны тяйин етмяйя имкан вермир. 

Шякил  6.82-дя  системин  цч  тип  щярякят  трайекторийасы  эюстярил-

мишдир.  1 



 асимптотик  моно-

тон 

)

0

V

(





,

 

2 



 орбитал 

)

0

V

(





, 

3

 



 

ися асимптотик рягси ( V -нин 

ишаряси  нювбяляшир)  дайаныглы  сис-

темляря  аиддир.  Йчцнъц  трайек-

торийа цзря Лйапунов теоремля-

ринин  шяртляринин  юдянилмясиня 

бахмайараг  систем  асимптотик 

дайаныглыдыр. Беля щярякят ню-

вцнцн мювъуд олмасы она дя-

лалят едир ки, системин дайаныглы 

олмасы  цчцн  Лйапунов  тео-

ремляринин  юдянилмяси  зярури 

дейил.  Демяли,  1  вя  2  теоремляри  дайаныглыьын  кафи  шяртини  ифадя 

едир. 

 

                    

Шякил 6.82 

122 

 

Лйапунов  функсийасы.  Лйапуновун  икинъи  цсулу  системин  дифе-

ренсиал тянлийинин щяллини  тяляб етмяся дя лазыми  хассяляря малик 

олан  Лйапунов  функсийасынын  тапылмасыны  тяляб  едир.  Яэяр  беля 

функсийа  тапмаг  мцмкцндцрся,  бу  дайаныглыьа  дялалят  едир. 

Лакин Лйапунов функсийасынын тапыла билмямяси системин щюкмян 

дайаныгсыз олмасы демяк дейил. Ола билсин ки, тядгигатчынын тяърц-

бяси  кифайят  гядяр  дейил  вя  йа  цмумиййятля  бахылан  тип  гейри-

хяттилик  цчцн  Лйапунов  функсийасынын  гурулмасы  методикасы  ишля-

нилмямишдир. 

Лйапунов  функсийасынын  гурулмасынын  цмуми  гайдасынын  ол-

мамасы бу цсулун чатышмайан ъящятидир. Щазырда Лйапунов функ-

сийасынын тяртиб олунма гайдасы хятти вя бязи тип гейри-хяттиликляря 

малик олан гейри-хятти тянзимлямя системляри цчцн ишлянилмишдир. 

6.13.1. Хятти системляр цчцн Лйапунов функсийасынын тяртиб 

олунмасы  

Ашаьыдакы хятти диференсиал тянликляр системи иля йазылан хятти вя йа 

хяттиляшдирилмиш обйектя (системя) бахаг:  

 

 

. 

....

..........

..........

..........

..........

  

, 

, 

n

nn

2

2

n

1

1

n

n

n

n

2

2

22

1

21

2

n

n

1

2

12

1

11

1

a

a

a

dt

d

a

a

a

dt

d

a

a

a

dt

d

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x































 

 

Вя йа вектор формасында: 

 

 

              

x

x

A

dt

d



. 

(6.100) 

Бурада  

)

a

(

A

ij





 

n

n



-юлчцлц мялум сабит матрисдир. 

Хятти системин йеэаня олан таразлыг вязиййяти  

0

)

,

,

,

(

т

n

2

1





x

x

x



x

 нюгтясиндя олдуьундан, координатларын явяз олун-

масына ещтийаъ йохдур. 

Хятти  системляр  цчцн  Лйапунов  функсийасы  квадратик  форма 

123 

 

шяклиндя ахтарылыр: 

 

     



 



n

1

i

n

1

j

j

i

ij

q

)

(

V

x

x

x

,      

j i

ij

q

q



 

(6.101) 

вя йа вектор шяклиндя  

 

  

x

x

x

Q

)

(

V

т



. 

(6.102) 

Бурада 

)

q

(

Q

ij





 

n

n



-юлчцлц симметрик матрисдир. 

Квадратик  (6.102)  формасынын  вя  демяли,  скалйар 

)

(

V x

  функси-

йасынын  мцсбят  мцяййян  олмасы  цчцн,  биринъиси,  Г  симметрик 

матрис олмалы, икинъиси, онун мяхсуси ядядляри 

0

i





 шяртини юдя-

мялидир. Гейд едяк ки, симметрик матрисин мяхсуси ядядляри щяги-

ги ядядлярдир. Мялум олдуьу кими, 

i



  

 

 

0

|

Q

|

)

Q

det(













I

I

 

(6.103) 

характеристик тянлийинин щяллиндян тапылыр. 

Матрисин мцсбят мцяййян (мянфи мцяййян) олмасынын башга бир 

яламяти онун бцтцн 

i



 диагонал (баш) минорларынын сыфырдан бюйцк 

(кичик)  олмасыдыр.  Бу  Силвестрин  зярури  вя  кафи  шяртидир.  Бу  щалда 

ашаьыдакы мцнасибятляр юдянилмялидир: 

0

q

11

1







, 

0

q

q

q

q

22

12

21

11

2







,



,

0

|

Q

|

n







.  

(6.104) 

Лйапунов функсийасынын тюрямяси  

 

   

x

x

x

x

)

QA

Q

A

(

d

d

V

dt

dV

т

т

т























. 

(6.105) 

Эюрцндцйц  кими,  йени  квадратик  форма  алынмышдыр.  Яэяр  П  иля 

ишаря етдийимиз 

 

 

)

QA

Q

A

(

т







P

 

(6.106) 

матрисиня  мцсбят  мцяййян (йяни 

)

QA

Q

A

(

т



матриси  мянфи мц-

яййян оларса) матрис оларса, онда 

)

(

V x



 мянфи мцяййян функсийа 

124 

 

олаъаг  вя  теорем  2-йя  ясасян  (6.100)  бцтювлцкдя  асимптотик 

дайаныглы систем олаъагдыр. 

П матрисинин мцсбят мцяййянлийини сечилмиш мцсбят мцяййян Г 

вя  мялум  А  матрислярини  (6.106)  ифадясиндя  йериня  йазараг 

йухарыда  эюстярилмиш  ики  цсулдан  бири  иля  йохламаг  олар.  Эюстяр-

мяк олар ки, яэяр А матриси дайаныглыдырса (Щурвис матриси), йяни 

мяхсуси  ядядляринин  щягиги  щиссяляри  сыфырдан  кичикдирся,  онда 

истянилян мцсбят мцяййян Г цчцн П матриси дя мцсбят мцяййян 

матрис шяклиндя алыныр. 

Адятян практики щесабламаларда тярс мясяляйя бахырлар. Щяр щансы 

бир мцсбят  мцяййян П матриси  верилир (садялик цчцн 

I

P



 ващид 

матрис  шяклиндя  гябул  етмяк  олар)  вя  (105)  матрис  тянлийинин 

щяллиндян  Г  тапылыр.  Яэяр,  о  да  мцсбят  мцяййян  матрис  оларса, 

онда систем асимптотик дайаныглыдыр. 

П  симметрик  матрис  олдуьундан  Г  матрисини  тапмаг  цчцн  ъями 

2

/

)

1

n

(

n



 тянлик лазым эялир. 

Дейилянляри теорем шяклиндя цмумиляшдиряк. 

 Теорем 3 .  Истянилян  мцсбят  мцяййян  П  матриси  цчцн  (6.106) 

тянлийини  юдяйян  мцсбят  мцяййян  симметрик  Г  матриси  мювъуд 

оларса, 

Ax

x





 системи цчцн координат башланьыъы (йяни, тривиал 

0



x

щялли) бцтювлцкдя асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтясидир. 

Мисал 6.13. Фярз едяк ки, квадратик (6.101) формасы верилмишдир: 

          

 

2

2

2

1

2

1

3

5

4

)

(

V

x

x

x

x







x

 

Матрис шяклиндя: 

 

 



























2

1

2

1

3

2

3

4

)

(

)

(

V

x

x

x

,

x

x

 

Эюрцндцйц  кими 















3

2

3

4

Q

.  Силвестр  теореминя  ясасян 

1



, 

2



 

минорлары 

 

0

4



, 

0

6

3

2

3

4





 

125 

 

сыфырдан бюйцк олдуьундан квадратик форма мцсбят мцяййяндир. 

Мисал  6.14.  Фярз  едяк  ки,  тянзимлямя  системинин  сыфыр  олмайан 

башланьыъ шяртлярин тясири алтында сярбяст щярякяти: 

          

 

2

1

1

2

dt

d

x

x

x







 ,  

2

1

2

dt

d

x

x

x







 . 

Бурада 





















 

 

 

1

1

1

2

A

. 















1

0

0

1

P

 мцсбят мцяййян матрис шяк-

линдя гябул етсяк, (6.106) матрис тянлийини беля йазмаг олар: 





















 

 

1

1

1

2













22

12

21

11

q

q

q

q















22

12

21

11

q

q

q

q



















 

 

1

1

1

2

=













1

0

0

1

 

21

12

q

q



 олдуьуну нязяря алыб алынмыш матрис тянлийини ачаг: 

 

 

1

q

2

q

2

12

11





, 

 

 

0

q

q

3

q

22

12

11







, 

 

 

1

q

2

q

2

22

12







. 

Бу  тянликляр  системинин  щялли: 

5

.

0

q

11



, 

0

q

12



, 

5

.

0

q

22



. 

Беляликля,  

 

 















5

.

0

0

0

5

.

0

Q

 

диагонал  матрис олдуьундан мцсбят  мцяййян  матрисдир. Демяли, 

бахылан хятти систем асимптотик дайаныглыдыр.  

6.13.2. Гейри-хятти  системляр  цчцн  Лйапунов  функсийасынын 

тяртиб олунмасы  

Лйапунов функсийасынын тяртиб олунма гайдасынын мялум  олдуьу 

мцяййян тип гейри-хятти системляря бахаг. 

Фасилясиз  гейри-хяттиликляр.  Бязи  садя  щалларда  фасилясиз  гейри-

хятти системляр цчцн дя Лйапунов функсийасыны квадратик формада 

гурмаг мцмкцн олур. 

Бир мисала бахаг. Системин тянлийи 

126 

 

 

 

.

dt

d

,

dt

d

3

1

2

2

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x











 

Системин структур схеми шякил 6.83-дя эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 6.83 

 

Лйапунов  функсийасыны  ашаьыдакы  мцсбят  мцяййян  квадратик  форма 

шяклиндя сечяк: 

   

2

2

22

4

1

11

q

q

)

(

V

x

x





x

 . 

Системин трайекторийасы цзяриндя бу функсийанын дяйишмяси  

   

)

(

q

2

)

(

q

4

)

(

V

3

1

22

2

2

1

2

3

1

11

x

x

x

x

x









x



 . 

4

/

1

q

11



, 

2

/

1

q

22



  гябул  етсяк: 

2

2

4

1

)

(

V

x

x





x



.  Бу  функсийа 

0

)

(

V



x



,  йяни  мянфи  мцяййян  функсийа  олдуьундан  координат 

башланьыъы асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтясидир. 

Даща йцксяк тяртибли системляр цчцн Лйапунов функсийасыны гурмаг цчцн 

конструктив цсуллардан бири олан Д.Шулс цсулу иля таныш олаг. Бу цсул В 

функсийасынын  вектор  градийентинин  хятти  шякилдя  апроксимасийасына 

ясасланыр: 

127 

 

 























































































































n

nn

2

2

n

1

1

n

n

n

2

2

22

1

21

n

n

1

2

12

1

11

n

2

1

V

V

V

)

(

V

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x







....

..........

..........

..........

  

...

 

x

 

(6.107)  

Бу щалда В-нин тюрямяси (6.99) цмуми ифадяйя ясасян тяйин олунур: 

 

 

)

(

V

V

)

(

V

т

т

x

f

x

x













. 

(6.108)  

Тярсиня  щярякят  едяряк

)

(

V x



  тюрямясиня  ясасян  уйьун  В 

функсийасыны тапаг: 

.

      

n

0

n

1

n

2

1

n

2

0

2

1

2

1

0

1

1

0

т

n

2

1

d

)

,

,

,

,

(

V

d

)

0

,

,

0

,

,

(

V

d

)

0

,

,

0

,

(

V

d

V

)

(

V











































x

x

x

x

x

x

x









x

x

x

(6.109) 

Шулс цсулунун тятбигиня бахаг. 

Мисал 6.15. Системин сярбяст щярякяти: 

 

 

.

,

3

1

2

2

2

1

x

x

x

x

x















 

Системин тяртиби 

2

n



 олдуьу цчцн (1.107)-йя ясасян 

 

 





























2

22

1

21

2

12

1

11

)

(

V

x

x

x

x

x

    

Ифадя (6.108)-я ясасян 

2

1

f

x



, 

3

1

2

2

f

x

x







 олдуьундан 

    

.

)

(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

V

2

2

12

22

2

1

2

1

22

21

11

4

1

21

3

1

2

2

22

1

21

2

2

12

1

11

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

















































x



 

128 

 

ij



параметрлярини  еля  сечмяк  лазымдыр  ки,  V   мянфи  мцяййян 

функсийа олсун, йяни 

0

)

(

V



x



, 

0

)

,

(

т

2

1





x

x

x

 вя 

0

)

0

(

V





 шярт-

ляри  юдянилсин. 

0

21





, 

12

22







  вя 

2

1

x

x

  вуруьунун  ямсалыны 

2

1

22

21

11

x











 шяклиндя гябул етсяк, мянфи мцяййянлик шяртини 

тямин  етмиш  оларыг.  Конкрет  олараг 

2

21

12









, 

2

22





  гябул 

едяк. Онда 

2

1

11

2

2

x







. Бу щалда  

 

 

            

4

1

2

V

x







. 

Градийентин ифадяси 

 

 























2

1

2

3

1

1

2

2

2

2

2

)

(

V

x

x

x

x

x

     

x

    

Ифадя (6.109)-а ясасян  

2

2

2

1

2

1

4

1

2

0

2

1

1

0

3

1

1

2

2

1

d

)

2

2

(

d

)

2

(

V

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x































. 

Лйапунов  функсийасы  В,  нязяри  щиссядя  дейилдийи  кими  мцсбят 

мцяййян  олмалыдыр.  Бу  хассяни  йохламаг  цчцн  алынмыш  В 

функсийасыны ашаьыдакы кими йазаг: 

 

 

4

1

т

5

.

0

Q

)

(

V

x





x

x

x

. 

 

Бурада 















1

1

1

1

Q

 вя 

1

1





, 

0

2





 олдуьундан квадратик форма 

мцсбят  йарыммцяййяндир,  йяни 

0

Q

т



x

x

.  Икинъи  топланан  ися 

мцсбят  мцяййян  функсийа,  йяни   

0

5

.

0

4

1



x

  олдуьундан,  В  дя 

мцсбят мцяййян функсийа шяклиндя алыныр. 

Беляликля,  Лйапуновун  2-ъи  теореминин  шяртляри  юдяндийиндян 

0



x

 нюгтяси асимптотик дайаныглы таразлыг нюгтясидир. 

Гейд едяк ки, 

12

22

4









 гиймятиндя 

 

 

   

2

2

4

1

2

2

V

x

x







. 

 

 

    

4

1

т

Q

)

(

V

x





x

x

x

. 

 

129 

 

Бу щалда 















2

1

1

1

Q

, 

0

1

1







, 

0

1

2







 олдуьундан квадратик 

форма мцсбят мцяййян алыныр. 

Мисал  6.16.  Инди  Б  дайаныглыг  областынын  (биртяртибли  щалда 



 

интервалынын)  тяйин  олунмасы  мцмкцн  олан  садя  щала  бахаг.  Сис-

тем биртяртибли олуб сярбяст щярякяти ашаьыдакы гейри-хятти диферен-

сиал тянликля йазылыр: 

 

 

3

dt

d

x

x

x







 . 

Бу  системин 

0



x

, 

1





x

  нюгтяляриндя  йерляшян  цч  таразлыг 

нюгтяси мювъуддур. 

0



x

 нюгтясинин дайаныглыьыны арашдыраг. 

Лйапунов  функсийасыны 

2

V

x



  шяклиндя  сечяк.  Бу  щалда 

4

2

2

2

V

x

x









. 

V

 функсийасы бцтцн 

0



x

 цчцн мцсбят мцяййян 

функсийа  олса  да,  V   йалныз 

1

|

|



x

  цчцн  мянфи  мцяййяндир.  Де-

мяли,  дайаныглыг  интервалы 

1

1









x

  парчасыдыр.  Бу  о  демякдир 

ки,  системин  трайекторийалары  бу  интервала  дахил  олан  бцтцн 

1

|

)

0

(

|



x

 башланьыъ вязиййятляриндян асимптотик олараг 

0



x

 нюг-

тясиня йахынлашырлар. 

Цмумиййятля 

V

  вя  V   функсийаларынын  хассяляри  ясасында  дайа-

ныглыг областларыны тяйин едяркян ещтийатлы олмаг лазымдыр. 

V

-нин 

сечилмясиндян асылы олараг тящлил олдугъа мцряккябляшя биляр.  

Инди  Лйапунов  функсийасыны 

4

2

5

.

0

V

x

x





  шяклиндя  сечяк.  Бу 

щалда 

2

)

(

2

V

x

x









  истянилян  x   йчцн  мянфи  мцяййян  функсийа 

шяклиндя  алыныр. 

V

-нин  мцсбят  мцяййянлик  интервалыны  тяйин 

етмяк  щятта  бахылан  садя  щалда  беля,  мцяййян  чятинликля  ялагя-

дардыр. 









4

2

5

.

0

0

x

x

 бярабярсизлийини щялл етсяк аларыг: 

5

.

0





, 

1

|

|



x

 оланда. Демяли, яввялдя олдуьу кими бурада да дайаныглыг 

интервалы 

1

1









x

 парчасыдыр. 

)

(0,



  секторунда  мящдуд  олан  гейри-хяттиликляр.  А.И.Лурйе 

1950-ъи  илдя  хятти  обйектдян  вя 





)

,

0

(

)

,

0

(



  секторунда,  йяни 

I,III рцблярдя йерляшян фасилясиз вя йа сыфыр нюгтясиндя биринъи нюв 

130 

 

кясилмяйя  малик  олан  биргиймятли  гейри-хяттиликдян  ибарят 

системляр  цчцн  Лйапунов  функсийасынын  гурулма  гайдасыны  тяклиф 

етмишдир. 

Шякил  6.84-дя 

)

(





  гейри-хяттилийинин 

дяйишмя  характери  эюстярилмишдир.  Гейри-

хяттилик ашаьыдакы шяртляри юдяйир: 

0

)

(







  яэяр  

0





,       (6.110) 

 

0

)

0

(





     яэяр  

0





.       (6.111) 

Сыфыр  нюгтясиндя,  кясилян  характеристикаларын  гейри-мцяййянлийиня 

бахмайараг онлар цчцн дя (6.111) шяртини гябул етмяк лазымдыр. 

Бирюлчцлц  тянзимлямя  системинин  структур  схеми  шякил  6.85-дя 

эюстярилмишдир.  

 

Шякил 6.85 

 

Дайаныглыьы тядгиг етдикдя хариъи гцввя кими тапшырыг тясирини сыфыр 

гябул едиб системин сыфыр олмайан башланьыъ шяртлярин тясири алтында 

сярбяст щярякятиня бахырлар.    

Шякилдя 1 



 статик (йаддашсыз) гейри-хятти тянзимляйиъидир. 

Структур чевирмялярин кюмяйи иля хятти щиссяляри: 

)

s

(

W



 обйекти, 

)

s

(

H



 якс ялагяни, 

)

s

(

G



 гейри-хяттилийин  

















2

1

c

c

    хятти  аргументини 

формалашдыран блокун ютцрмя функси-

йаларыны 

)

s

(

W

х

  хятти  блокда  бирляш-

дирсяк  шякил  6.86-да  эюстярилмиш  ек-

вивалент схеми алмыш оларыг. 

Системин вязиййятляр координатларында йазылышы: 

 

      Шякил 6.84 

 

            Шякил 6.86

 

131 

 

 

 

Bu

A





x

x



,  

(6.112)  

 

 

)

(

u







, 

 

 

x

т

c





, 

 

 

1

y

x



. 

Бурада 

т

n

2

1

)

,

,

,

(

x

x

x





x



 н-юлчцлц вязиййят вектору;  u



  скалйар 

идаря  тясири; 





 дяйишмя  функсийасы; 

т

n

2

1

)

,с

,

,с

с

(

с







 н-юлчцлц 

вектор; 

)

(



 

 фасилясиз вя йа парчада кясилмяз гейри-хяттилик;  y



 

системин чыхыш кямиййятидир. 

0

)

(







, 

0





 шярти бу щасилин мцсбят мцяййянлийини, 

0

)

0

(





, 

0





  шярти  ися 

x

x

А





олдуьундан  йеэаня  таразлыг  нюгтясинин 

0



x

  нюгтяси  олдуьуну  тямин  едир.  Демяли, 

0



x

  нюгтяси 

дайаныглы  оларса,  (6.112)  гейри-хятти  системи  бцтювлцкдя,  йяни 

мцтляг дайаныглы систем олур. 

Чыхыша  нязярян  йазылмыш  тянликдян  вязиййят  дяйишянляриндя 

йазылмыш (6.112) тянлийиня кечидя аид бир мисала бахаг. Фярз едяк 

ки, икиюлчцлц обйектин чыхыша нязярян йазылмыш тянлийи: 

 

 

bu

y

a

y

a

y

2

1













. 

Яввялъя 

y

1



х

, 

y

2





х

 гябул едиб, обйектин тянлийини вязиййятляр 

дяйишянляриндя йазаг: 

 

 

.

bu

a

a

,

2

1

1

2

2

2

1











х

х

х

х

х





 

(6.113) 

Фярз  едяк  ки,  гейри-хяттилик  йалныз  хятанын  юзцндян  асылыдыр: 

)

(

u







, 

y

g







 



 тянзимлямя  хятасыдыр. 

0

g



  олдуьундан 

1

y

x











  вя 

)

(

u

1

x







.  Бу  щалда 

1

x







.  (6.113)-я  уйьун 

гапалы тянзимлямя системинин тянлийи:  

 

.

y

,

)

(

b

a

a

,

1

1

2

1

1

2

2

2

1

х

х

х

х

х

х

х



















 

(6.114) 

Уйьун системин структур схеми шякил 6.87-дя эюстярилмишдир. 

 

132 

 

 

Шякил 6.87 

 

Тянликляр  системи  (6.112)  иля  йазылан  системляр  цчцн  Лйапунов 

функсийасы  квадратик  форма  иля 

)

(





  гейри-хяттилийин  интегралынын 

ъями шяклиндя гябул олунур: 

 

 



















0

т

d

)

(

Q

)

,

(

V

x

x

x

 

(6.115) 

Бурада Г 



 мцсбят мцяййян симметрик матрис, 

0





. (6.110), (6.111) 

шяртляринин  сайясиндя  икинъи  топланан  да   

0

d

)

(

0













.  Йяни  мцсбят 

мцяййян  функсийадыр.  Щяр  ики  топланан  мцсбят  мцяййян  функсийа 

олдуьундан  (6.115)  шяклиндя  сечилмиш  Лйапунов  функсийасы  мцсбят 

мцяййян функсийадыр, йяни 

0

)

,

(

V





x

, 

0



x

, 

0

)

0

(

V



. Дяйишянляр 

x   вя 



  артдыгъа 

const

c

)

,

(

V







x

  бярабяр  сявиййя  хятляринин 

гиймяти артараг бцтцн фязаны долдурур. 

Систем  (6.112)-нин  дайаныглы  олмасы  цчцн   

)

,

(

V



x



  мянфи  мцяййян 

функсийа олмалыдыр, йяни 

0

)

,

(

V





x



, 

0



x

, 

0

)

0

(

V





. 

Ифадя (6.115)-я ясасян 

)

,

(

V



x



 функсийасыны тяйин едяк: 

 

;

 

)

(

)

(

Р

Р

  

          

)

d

)

(

(

)

Q

(

)

,

(

V

x

т

0

т













































x

x

x

x

x

 

(6.116) 

133 

 

 

 

. 

, 

, 

)]

(

B

A

[

c

c

QB

Q

B

P

QA

Q

A

P

т

т

т

т

x

т





















x

x

x

x





 

(6.117) 

V

  тюрямясинин мянфи мцяййян олмасы шярти 

т

c  параметрини вя 



 

кямиййятини  сечмякля  йериня  йетирилир.  Лайищя  мясяляляриндя 

обйектин  А  вя  Б  параметрляри  габагъадан  мялум  олмадыьындан 

онлары да 

0

)

,

(

V





x



 шяртинин юдянилмясиня табе етмяк олар. 

Бу  цсулун  ясас  мцсбят  хцсусиййяти  ондан  ибарятдир  ки, 

)

,

(

V



x



 

функсийасынын мянфи мцяййян олуб-олмамасыны арашдырдыгда 

)

(





 гейри-

хяттилийинин конкрет шяклини билмяк тяляб олунмур. Онун йалныз (6.110), 

(6.111) шяртлярини юдяйян гейри-хяттиликляр синфиня дахил олмасы кифайятдир. 

Мисал 6.17. Шякил 6.88-дя  эюстярилян вя хятти щиссясинин ютцрмя функ-

сийасы 

 

 

)

1

Ts

(

s

b

)

s

(

W

x





  

олан (яталятли-интеграллайыъы манга) вя 

)

(





 гейри-хяттилийя малик 

олан  гейри-хятти  тянзимлямя  системинин  таразлыг  вязиййятинин 

дайаныглыг шяртини тяйин етмяли. 

 

 

Шякил 6.88 

 

Хятти  щиссянин  (



обйектин



)  чыхыша  нязярян  йазылмыш  диференсиал 

тянлийи: 

 

 

bu

y

y

T











. 

134 

 

y

1



х

, 

y

2





х

  гябул  едиб,  хятти  щиссянин  тянлийини  вязиййятляр 

координатларында йазаг: 

   

 

.

y

,

u

T

b

T

1

,

1

2

2

2

1

х

х

х

х

х















  

Шякилдян  эюрцндцйц  кими,  гапалы  системдя  гейри-хяттилик 



 

хятасынын юзцндян асылыдыр, йяни 

)

(





 шяклиндя. Гапанма тянлийини 

y

g







  вя 

0

g



  щалында 

1

y

х











.  Гейри-хятти  характеристи-

канын тяк функсийа олдуьуну нязяря алсаг, 

)

(

u

1

х







. Эюрцндц-

йц  кими,  бу  щалда 

1

х





,  демяли, 

)

0

,

1

(

с

т



.  Гапалы  системин 

вязиййятляр координатларында тянлийи:  

 

 

.

)

(

T

b

T

1

,

1

2

2

2

1

х

х

х

х

х















   

Бурада 

















T

/

1

1

0

0

А

,  

















T

/

b

0

B

,  

)

0

,

1

(

с

т



 . 

Лйапунов  функсийасы  цчцн 















2

/

1

0

0

0

Q

  гябул  етсяк,  (6.115)-я 

ясасян йазмаг олар: 

 

 















1

0

2

2

d

)

(

2

1

V

x

x

. 

Бу  функсийанын  тюрямясини  тапмаг  цчцн  (6.116)  ифадясиндян 

истифадя едяк. 





,

P

 вя 

x

P  ифадяляри (6.117)-йя ясасян тапырыг: 

 

















T

/

1

1

0

0

P

,  

2

x

T

b

P

x





, 

2

x







. 

Гейд  едяк  ки, 





  тюрямясини  (6.117)  ифадясинин  кюмяйи  иля  дя 

135 

 

щесабламаг  оларды. 

1

x





  олдуьундан  асанлыгла  тяйин  етмяк 

мцмкцндцр: 

2

1

x

x











. 

Беляликля, 

 

 

)

(

)

(

T

b

T

1

V

1

2

1

2

2

2

x

x

x

x

x

















. 

T

k





  гябул  етсяк, 

0

T

1

V

2

2







x



  аларыг.  V   бцтцн  вязиййят 

мцстявисиндя мянфи мцяййян функсийа олдуьундан, бахылан систе-

мин 

0

)

,

(

т

2

1





x

x

x

 таразлыг вязиййяти  бцтювлцкдя асимптотик да-

йаныглы нюгтядир. 

 

6.14. В.М.Поповун мцтляг дайаныглыг критериси  

 

Гейри-хятти системлярин олдугъа мцхтялиф олмасына бахмайараг, еля синиф 

системляр  мювъуддур  ки,  бунлар  дайаныглыг  бахымындан  юзлярини  хятти 

системляр кими апарырлар, йяни бцтювлцкдя дайаныглыг хассясиня маликдир-

ляр.    

Лакин хятти системляря хас олан бцтювлцкдя дайаныглыг бу системляр цчцн 

мцтляг  дайаныглыг  анлайышы  иля  явяз  олунмушдур.  Хятти  системлярдя 

олдуьу кими беля системлярдя дя вязиййятляр вя йа фаза фязасынын истяни-

лян нюгтясиндян башлайан трайекторийа заман кечдикъя координат башлан-

ьыъында йерляшян йеэаня таразлыг нюгтясиня йахынлашыр. Йяни бцтцн вязий-

йятляр фязасы ъязболунма областыдыр. Практики бахымдан бу о демякдир ки, 

системдя техники вя физики шяртлярля мящдудлашдырылан ишчи областын дахи-

линдя  галан  истянилян  мейлетмяляр  (



кифайят  гядяр  кичик



  йох)  заман 

кечдикъя сыфыра йахынлашыр. 

Бахылан  цсулун  ясас  цстцнлцйц 

)

(





  гейри-хяттилийинин  (гейри-хятти 

щиссянин статик характеристикасы) типини билмяк тяляб олунмамасыдыр. Онун 

щяр щансы бир сектора дахил олмасыны билмяк кифайятдир. Адятян, 







1

1

u

 

вя 







2

2

u

 хятляри арасында йерляшян 

)

(

u







 гейри-хяттиликляриня ба-

хырлар. Йяни 

 

 

















2

1

)

(

 

вя йа 

136 

 

 

 

2

1

)

(















,  













2

1

0

. 

Бурада 

)

(







  гейри-хятти  щиссянин  статик  характеристикасы  (бах,