H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

3. Рийази  эюзлямя. Бу  эюстяриъи юзц тясадцфи  кямиййят  олмайыб  тясадцфи 

Х  кямиййятинин  х  гиймятляринин  груплашдырыьы  (топландыьы)  орта  гиймятини 

характеризя едир: 

                     

dx

)

x

(

xp

m

]

X

[

M

x











 . 

           (5.5) 

Яэяр Х-ин бцтцн гиймятляри 

]

b

,

a

[

 парчасына дахилдирся, онда 

 

   

 

dx

)

x

(

xp

m

b

a

x





 

(5.6) 

Бу ифадя х дяйишянинин 

)

x

(

p

 чякиси иля орталашдырылмасы демякдир. 

Рийази эюзлямянин ясас хассяляри: 

1. 

]

X

[

cM

]

cX

[

M



 ,  

const

c



. 

2. 

y

x

m

m

]

Y

[

M

]

X

[

M

]

Y

X

[

M











. 

3. 

y

x

m

m

]

Y

[

M

]

X

[

M

]

XY

[

M







. 

Бурада Х вя Й бир-бириндян асылы олмайан тясадцфи кямиййятлярдир. 

Фасилясиз  тясадцфи  кямиййятин  модасы 

0

M   онун 

)

x

(

p

  ещтималларын 

пайланма функсийасынын максимумуна уйьун эялян гиймятиня бярабярдир.  

Тясадцфи кямиййятин медианы 

m

M  онун еля гиймятидир ки, бу гиймят цчцн 

 

   

)

M

X

(

P

)

M

X

(

P

m

m







 

        (5.7) 

бярабярлийи юдянилир, йяни тясадцфи Х кямиййятинин медиандан бюйцк вя кичик 

гиймят ала биляъяйи ещтималлары бярабярдир. 

Шякил 5.7-дя нормал пайланмайа йахын олан пайланма гануну цчцн мода 

 

116 

 

вя медиан эюстярилмишдир. 

 

 

                       а)                                               б) 

Шякил 5.7. 

 

Шякил  5.7, б-дя  ещтиамлы  характеризя  едян 

1

S вя 

2

S   сащяляри  (8.7)-йя 

ясасян бярабярдирляр: 

 

   

5

.

0

dx

)

x

(

p

dx

)

x

(

p

m

m

M

M













. 

Бу  сябябдян 

)

x

(

f

  пайланма  функсийасынын  медиана  уйьун  эялян,  йяни 

m

M

x



гиймятиня 

5

.

0

)

M

(

f

m



 гиймяти уйьун эялир. 

Яэяр пайланма бирмодалы вя симметрикдирся, онда 

m

0

M

M

]

X

[

M





. 

4. Дисперсийа. Бу эюстяриъи тясадцфи Х кямиййятинин х гиймятляринин 

x

m  

ятрафында сяпялянмя дяпяъясини эюстярир:  

    

dx

)

x

(

p

)

m

x

(

]

)

m

X

[(

M

D

]

x

[

D

2

x

2

x

x

















 . 

            (5.8)

   

Бу ифадяни щесаблама бахымындан даща ращат олан шякиля эятирмяк олар:  

        

 

2

x

2

x

m

dx

)

x

(

p

x

D











 . 

               (5.9)

   

Орта квадратик мейлетмя:  

        

 

x

x

D





 . 

(5.10)

 

Гейд  едяк  ки,  сабит 

c

X



  кямиййятинин  рийази  эюзлямяси 

c

m

x



 

олдуьундан 

0

D

x



. 

Рийази  эюзлямя  вя  орта  квадратикмейлетмя  вя  йа  дисперсийа  тясадцфи 

кямиййятин ян чох истифадя олунан ядяди характеристикаларыдыр. Мясялян, бунлар 

практикада даща эениш йайылмыш пайланма ганунларындан олан нормал пайланма 

ганунуну (Гаус пайланмасы)там тяйин етмяйя имкан верир. 

 

117 

 

5. Тясадцфи  кямиййятин  коррелйасийа  моменти.  Бу  эюстяриъи  чох  ваъиб 

олуб  ики  тясадцфи  Х  вя  Y  кямиййятляри  арасында  статистик  (ещтимал)  асылылыьын 

эцъцнц характеризя едир. 

Коррелйасийа моменти (тясадцфи просесляр цчцн 



 коррелйасийа функсийасы) 

ашаьыдакы шякилдя тяйин олунур: 

 

    

 















dxdy

)

y

,

x

(

p

)

m

y

)(

m

x

(

R

y

x

xy

.                          (5.11)   

Айдындыр ки, бурада 

y x

xy

R

R



; 

)

y

,

x

(

p



 ещтималларын  гаршылыглы пайланма 

сыхлыьыдыр. Бу характеристика ики юлчцлц пайланма сыхлыьыды да адланыр. Онун цчцн 

бир юлчцлц щала уйьун олараг aşağıdakı münasibət ödənilir: 

1

dxdy

)

y

,

x

(

p



 









 

Шякил 5.8, а-да щяр ики тясадцфи кямиййят нормал пайланма ганунуна табе 

олдуьу щала уйьун олан 

)

y

,

x

(

p

 функсийасынын формасы эюстярилмишдир. 

 

 

Шякил 5.8  

 

Коррелйасийа  моменти 

xy

R

  сыфыра  бярабяр  олмайан  ики  Х  вя  Y  тясадцфи 

кямиййятляри коррелйасийалы тясадцфи кямиййятляр адланырлар. 

Адятян,  практики  щесабламаларда  коррелйасийа  моментинин  явязиня 

коррелйасийа ямсалындан истифадя едирляр: 

 

   

y

x

xy

y y

xx

xy

y x

xy

R

R

R

R

r

r











. 

Коррелйасийа  ямаслы  тясадцфи  кямиййятляр  арасында  йалныз  хятти  статистик 

ялагянин  сыхлыьыны  эюстярир  вя 

1

r

1

xy









  интервалында  дяйишир. 

1

r

xy





 

гиймятляриндя статистик (ещтимал) ялагя функсионал ялагяйя чеврилир.  

Шякил 5.9, а вя б-дя коррелйасийа ялагясинин мцсбят вя мянфи олан щаллары 

 

118 

 

эюстярилмишдир. 

 

 

                        а)                                            б) 

Шякил 5.9 

 

5.8.2. Тясадцфи кямиййятлярин пайланма ганунлары 

   

1. Нормал  пайланма  гануну.  Пайланма  ганунлары  илкин  олараг 

ещтималларын  пайланма  сыхлыьы  функсийасы  шяклиндя  верилир.  Нормал  пайланма 

гануну цчцн 

        

 

2

x

2

x

2

)

x

m

(

x

e

2

1

)

x

(

p













 .     

(5.12) 

Эюрцндцйц кими, нормал пайланма гануну ики 

x

m  вя 

x



 параметрляри иля 

характеризя олунур. 

Шякил  5.10, а  вя  б-дя  уйьун  олараг 

dx

)

x

(

p

)

x

(

f











  вя 

)

x

(

p

 

функсийаларынын графикляри эюстярилмишдир. 

Нормал пайланма ганунунун ясас хцсусиййятляри: 

 1. 







2

1

p

x

max

. Бу ифадя (5.12  )-дя 

x

m

x



 гябул етмякля алыныр. 

2. Нормал пайланма яйриси 

x

m -я нязярян симметрикдир.  

3. 

x

m -ин  дяйишмяси  пайланма  яйрисинин  формасыны  дяйишмяйиб  ону  йалныз 

абсис оху бойунъа сцрцшдцрцр. 

x



 дяйишмяси ися онун формасыны дяйишдирир.  

4. 

x



  азалдыгъа 

max

p

  гиймяти  артыр  вя  сабит  кямиййятляр  цчцн 

0

x





 

олдуьундан 





max

p

  йахынлашыр.  Демяли,  сабит  а  кямиййяти  цчцн 

)

x

(

p

функсийасы а нюгтясиндя башлайан ващид импулса бярабярдир. 

 

 

119 

 

 

Шякил 5.10 

 

5. 

max

p

607

.

0

p





.  Бу  ифадя  (5.12)  дя 

0

m

x



  вя  Б  яйилмя  нюгтясинин 

абсиси цчцн 

x

m

x



 йериня йазмаг йолу иля алынмышдыр. 

607

.

0

e

5

.

0





. 

6. 

dx

)

x

(

p

]

X

[

P

















.  Бу  хцсусиййят  пайланма  ганунунун  типиндян 

асылы  олмайыб,  истянилян  гануна  аиддир.  Тясадцфи  кямиййят  Х-ин 

]

,

[





 

интервалына дцшмя ещтималы шякил 5.10, б-дя штрихлянмиш сащяйя бярабярдир. 

Шякил  5.10, б-дян  эюрцндцйц  кими,  солдан  вя 

саьдан 

x

m   нюгтясиня  йахынлашдыгъа  сащя  артыр  вя 

демяли, 

тясадцфи 

Х 

кямиййятинин 

рийази 

эюзлямясинин  йахын  ятрафына  дцшмя  ещтималы  да  бю-

йцкдцр. Бу хцсусиййят схематик олараг шякил 5.11-дə 

эюстярилмишдир.  

Цч  сигма  гайдасы.  Х  тясадцфи  кямиййятинин 

чох бюйцк гиймятляр алма ещтималы чох кичик олдуьундан практики щесаблама-

ларда  онун  щядд  гиймятлярини 





дейил,  щяр  щансы  бир  аьылабатан  гиймятя 

бярабяр  эютцрцрляр.  Бу  щядд  гиймятлярини  тяйин  етмяк  цчцн  цч  сигма 

гайдасындан истифадя едирляр.  

Щесаблама  нятиъясиндя  ямин  олмаг  олар  ки,  Х  кямиййятинин 





k

m

x

, 



,

2

,

1

k



 интервалындан гиймятляр алма ещтималы: 

 

   

683

.

0

]

m

X

m

[

P

x

x















, 

а) 

б) 

 

Şəkil 5.11 

 

120 

 

 

   

955

.

0

]

2

m

X

2

m

[

P

x

x















, 

 

   

9973

.

0

]

3

m

X

3

m

[

P

x

x















. 

Беляликля, Х кямиййятинин 

x

m

x



 мейлинин гиймятини 





3

 гиймятиндян 

бюйцк  гиймятляр  алмасы  ещтималы  чох  кичик  олуб 

0027

.

0

9973

1

p







 

бярабярдир. Бу о демякдир ки, йалныз 0.27% щалларда (мцшащидялярдя) беля ола 

биляр. Беля щадисяляр аз ещтимал олунан щадисяляря аид олдуьундан практикада 

нязяря алынмайа биляр. Демяли, практики щесабламаларда Х-ин щядд гиймятляри 

цчцн 







3

m

x

x

min

, 







3

m

x

x

max

 гябул етмяк олар. 

Фасилясиз тясадцфи кямиййятин диэяр типик пайланма ганунлары иля гыса таныш 

олаг. 

2. Бярабяр  пайланма  гануну.  Бу  щалда  ещтималларын  пайланма  сыхлыьы 

парчада сабит функсийа шяклиндя олур: 

 

   

 

. 

яэяр   

     

, 

яэяр  

     

, 

яэяр   

     





















b

x

0

b

x

a

c

a

x

0

)

x

(

p

     

Сабит 

с   кямиййятини 

1

)

a

b

(

c

S







  сащясинин  ващидя  бярабяр  олмасы 

шяртиндян тапырыг: 

)

a

b

/(

1

c





. 

Шякил 5.12, а-да 

)

x

(

p

 функсийасынын графики эюстярилмишдир 

Пайланма 

)

x

(

f

 функсийасы ашаьыдакы ифадяйя ясасян гурулур: 

 

   











d

)

(

p

)

x

(

f

x

. 

Яэяр 

a

x



, онда 

0

)

x

(

p



 вя 

0

)

x

(

f



.  

Яэяр 

b

x

a





, онда 

)

a

b

/(

1

)

x

(

p





 вя   

   

a

b

a

x

a

b

1

0

d

a

b

1

d

0

d

)

(

p

)

x

(

f

x

a

x

a

a

x









































 . 

Яэяр 

b

x



, онда  

 

1

a

b

a

b

d

0

d

a

b

1

d

0

)

x

(

f

x

b

b

a

a































 . 

Беляликля,  

 

121 

 

 

   

 

. 

яэяр   

         

, 

яэяр  

     

, 

яэяр   

        



























b

x

1

b

x

a

a

b

a

x

a

x

0

)

x

(

f

     

Бу функсийаларын графикляри шякил 5.12, б-дя эюстярилмишдир. 

Сонлу  парчада  тяйин  олунан  пайланма  функсийалары  финит  пайланма 

функсийалары адланыр. 

Рийази эюзлямя (5.6) ифадясиня ясасян:  

2

b

a

dx

0

x

dx

a

b

1

x

dx

0

x

dx

)

x

(

xp

m

b

b

a

a

x



































 . 

 

Шякил 5.12 

 

Дисперсийа (5.9) дцстуруна ясасян:  

 

   

12

)

a

b

(

m

dx

)

x

(

p

x

D

2

2

x

b

a

2

x











 . 

Функсийа 

)

x

(

p

сабит  олдуьундан  ейни  отураъаглы  бцтцн  сащяляр  ейнидир, 

йяни щяр бир нюгтянин йахын ятрафы ейни щцгуга (чякийя) маликдир. Бу сябябдян 

бярабяр  пайланма  ганунунда  сяпялянмя  бярабяр  олуб  нюгтялярин 

x

m   рийази 

эюзлямясинин йахын ятрафында груплашмасы (топлашмасы) мцшащидя олунмур. 

Дискрет  бярабяр  пайланма  ганунуна  мисал  олараг  зярин  атылдыьы  заманы 

1,2,3,4,5  вя  йа  6  гиймятляринин  мейдана  чыхмасы  щадисясини  эюстярмяк  олар. 

Бу щалда истянилян халын дцшмя ещтималы бярабяр олуб 

6

/

1

p



 бярабярдир.  

б) 

а) 

 

122 

 

 

Şəkil 5.13

 

Схематик  олараг  х-ин  гиймятляринин 

]

b

,

a

[

  интер-

валында  пайланмасы  шякил  5.13-дя  эюстярилмишдир. 

Эюрцндцйц  кими,  гиймятляр 

]

b

,

a

[

  парчасында  бярабяр 

пайланмышдыр. 

3. Експоненсиал пайланма гануну. Бу щалда 

 

   

 

. 

яэяр   

     

e

, 

яэяр   

 

          

x

-

















0

x

0

x

0

)

x

(

p

     

Бурада 





 сабит кямиййятдир. 

Шякил 5.14, а-да ещтималларын пайланма сыхлыьы функсийасынын графики эюстя-

рилмишдир. 

 

 

Шякил 5.14 

 

Эюрцндцйц кими, бу пайланма йеэаня 



 парметри иля характеризя олунур. 

Бу  яламят  чохлу  сайда  параметрлярдян  асылы  олан  пайланма  ганунларына 

нисбятян мцсбят щалдыр. Пайланма гануну  

 

x

-

x

-

e

e



































1

d

d

0

d

)

(

p

)

x

(

f

x

0

0

x

.   

Бу функсийанын графики шякил 8.9, б-дя эюстярилмишдир. 

Рийази эюзлямяни тапаг. (5.5) дцстуруна ясасян:  

 















 



























1

x

1

dx

x

dx

)

x

(

xp

m

0

0

0

x

x

-

x

-

e

e

 . 

Демяли, бу пайланма ганунуна табе олан тясадцфи кямиййятин гиймятляри 

даща бюйцк ещтимал иля 





/

1

m

x

 нюгтясинин ятрафында груплашырлар. Шякил 5.15-

дə бу хцсусиййят схематик олараг эюстярилмишдир. 

b) 

a) 

 

123 

 

 

 

 

 

Дисперсийа (5.9) дцстуруна ясасян:  

2

2

0

2

2

x

0

2

x

1

1

dx

x

m

dx

)

x

(

p

x

D



























x

-

e

 . 

Демяли,  орта  квалратик  мейлетмя: 









/

1

D

x

x

  рийази  эюзлямяйя 

бярабярдир.