H.Ə. Məmmədov, Q.Ə. Rüstəmov R. Q. Rüstəmov

5.8.3. 

Diskret təsadüfi kəmiyyətlər

 

  

Дискрет тясадцфи  кямиййятляр  еля  кямиййятлярдир  ки,  онлар  мцшащидя 

(тяърцбя)  заманы  йалныз  мцяййян  тяърид  олунмуш  гиймятляр  ала  билир.  Даща 

коорект  –  сай  чохлуьундан  гиймятляр  алыр.  Мясялян,  зяри  атдыгда  йалныз 

1,2,3,4,5 вя йа 6 ядядляри мейдана чыха биляр. 

1.Орта  гиймят.  Фярз  едяк  ки,  мцшащидя  заманы  Х  дискрет  тясадцфи 

кямиййяти  ашаьыдакы  гиймятляри  алмышдыр: 

1

x  



 

1

m   дяфя, 

2

x  



 

2

m   дяфя,



, 

N

x  



 

N

 дяфя. Тясадцфи Х кямиййятинин орта статистик гиймяти беля щесабланыр:  





























N

2

1

1

1

1

1

1

1

m

m

m

x

x

x

x

x

x

X

N

2

1

m

m

m





























 



















n

m

x

n

m

x

n

m

x

n

m

x

m

x

m

x

N

N

2

2

1

1

N

N

2

2

1

1





 

      















N

1

i

*

i

i

*

N

N

*

2

2

*

1

1

p

x

p

x

p

x

p

x



 . 

(5.13)

    

Бурада н – мцшащидялярин (сынагларын) цмуми сайы; 

i

m – щяр бир 

i

x  дискрет 

кямиййятин  мейдана  эялмя  тезлийи;  ещтималы  характеризя  едян 

n

m

p

i

*

i



  –  ися 

нисби вя йа тяърцбядян алындыьы цчцн емпирик тезлик адланыр. 

Ифадя (5.13) бир хятт цзяриндя (бурада ядяд оху) 

i

x  нюгтяляриндя йерляшян 

i

m   кцтляли  нюгтяви  йцклярдян  ибарят  системин  аьырлыг  мяркязинин  координатыны 

характеризя едир. 

Мцшащидялярин  сайы  артдыгъа  нисби  тезликляр  уйьун  ещтималлара  йахынлашыр  

)

x

X

(

p

p

i

i

*

i





  вя  статистик  орта  явязиня  рийази  эюзлямя  анлайышындан  истифадя 

олунур: 

 

     Şəkil 5.15 

 

124 

 

       









N

1

i

i

i

x

p

x

m

]

X

[

M

. 

        (5.14)     

Бурада 

i

p  кямиййяти 

i

x  гиймятинин мейдана эялмя ещтималыдыр. 

Зяри атаркян мейдана эяля биляъяк гиймятляр вя онларын мейдана эялмя 

ещтималлары 

6

/

1

p

i



, 

6

,

,

2

,

1

i





  габагъадан  мялум  олдуьундан  тяърцбя 

апармадан  рийази  эюзлямяни  (5.14)  дцстурунун  кюмяйи  иля  щесабламаг 

мцмкцндцр:  

5

.

3

)

6

5

4

3

2

1

(

6

1

m

x















. 

Рийази эюзлямя тясадцфи кямиййяти там характеризя етмяйя имкан вермир. 

Шякил 5.16-дян эюрцндцйц кими, Х вя Y тясадцфи кямиййятляринин рийази эюзля-

мяляринин  ейни  олмасына  бахмайараг  гиймятлярин  бу  нюгтяляр  арасында 

сяпялянмя дяряъяси мцхтялифдир. 

 

Şəkil 5.16 

 

2. Дисперсийа.  Дискрет  тясадцфи  кямиййятин  дисперсийасы  тясадцфи 

гиймятлярин рийази эюзлямядян мейлляринин квадратынын рийази эюзлямясидир: 

 

   

      

2

x

x

)

X

m

(

M

D

)

X

(

D







 .                                        (5.15)   

  Бу ифадяйя уйьун эялян щесаблама дцстуру:  

 

   

      

n

)

m

X

(

m

)

X

(

D

2

i

N

1

i

i









  .  

                  (5.16)     

  Бязи щалларда хятаны гиймятляндирмяк цчцн орта квадратик мейлетмядян 

истифадя едирляр:  

 

                          

D





  .  

                (5.17)      

  Ващиди х дяйишянинин юлчц ващиди иля ейни олдуьундан яксяр щалларда 



-

дан истифадя етмяк даща ялверишли олур. 

Мисал 5.10. Фярз едяк ки, тясадцфи кямиййятин пайланма ъядвяли    

i

x  

1 

2 

3 

4 

i

m  

20  15  10 

5 

 

125 

 

верилмишдир. Дисперсийаны щесабламаг тяляб олунур. 

Яввялъя (5.13)-йя ясасян орта гиймяти тапырыг: 

 

2

50

100

5

10

15

20

5

4

10

3

15

2

20

1

X



























 . 

Дисперсийаны (5.16) дцстуруна ясасян щесаблайырыг:  

1

50

50

5

10

15

20

)

4

2

(

5

)

3

2

(

10

)

2

2

(

15

)

1

2

(

20

)

X

(

D

2

2

2

2



























 . 

3. Дискрет  тясадцфи  кямиййятин  емпирик  (тяърцби)  пайланма 

функсийасынын  гурулмасы.  Тясадцфи  дяйишян  дискрет  кямиййят  олдуьундан 

)

x

(

f

*

  пайланма  функсийасы  да  дискрет  функсийа  олаъагдыр.  Дискрет  тясадцфи 

кямиййятин  пайланма  функсийасынын  х  нюгтясиндя  ординаты  ашаьыдакы  ифадянин 

кюмяйи иля щесабланыр: 

 

   







x

x

*

i

*

i

p

)

x

(

f

, 

k

,

,

2

,

1

i





 .  

                     (5.18)    

Ъямлямя 

x

x

i



 шяртинин юдянилдийи бцтцн  i -ляр цзря апарылыр. Беляликля, 

)

x

(

f

*

 

сычрайышлары 

i

x  нюгтяляриндя  

*

i

p

-йя бярабяр олан пиллявари функсийадыр. Парчада 

сабитлик интерваллары: 

 

           

const

)

x

(

f

i

*



, 

)

x

,

x

[

x

i

1

i





 . 

1

x

x



 щалында 

i

x -нин  истянилян  гиймяти 

1

x -дян  кичик  олмадыьындан 

0

)

x

(

f

1

*



 олур, сон 

k

x

x



 гиймяти цчцн бцтцн 

i

x -ляр (

1

k

,

,

2

,

1

i







) 

k

i

x

x



 

шяртини юдядийиндян щесабламаларда ахырынъыдан башга бцтцн 

*

i

p -ляр иштирак едир. 

k

x  максимал гиймятиндян сонра 

1

f

*



 гябул етмяк лазымдыр. 

Шякил 5.17-дя 

)

x

(

f

*

 функсийасынын гурулма гайдасы эюстярилмишдир. 

 

Шякил 5.17 

Мисал 5.11. Фярз едяк ки, пайланма ъядвяли ашаьыдакы шякилдя верилмишдир: 

   

i

x  

1 

4 

8 

 

126 

 

i

m  

3 

1 

6 

Нисби 

тезликляри 

щесаблайаг: 

3

.

0

10

/

3

p

*

1





; 

1

.

0

10

/

1

p

*

2





; 

6

.

0

10

/

6

p

*

3





. 

Дцстур 

(5.18)- 

я 

ясасян: 

0

)

1

(

f

*



; 

3

.

0

p

)

4

(

f

*

1

*





; 

4

.

0

1

.

0

3

.

0

p

p

)

8

(

f

*

2

*

1

*











 

Беляликля,  





























.

8

x

1

,

8

x

4

4

.

0

,

4

x

1

3

.

0

,

1

x

0

)

x

(

f

*

яэяр     

          

яэяр     

       

яэяр     

       

яэяр    

          

 

Уйьун  емпирик  пайланма  яйриси  вя  ещтималларын  пайланма  графики  шякил 

5.18, а вя б-дя эюстярилмишдир. 

 

 

                                   а)                                                   б) 

Шякил 5.18 

 

Бязи дискрет пайланма ганунлары иля таныш олаг.  

 

4. Бязи дискрет пайланма ганунлары 

 

4.1. Щадися индикатору.  Фярз  едяк  ки,  А  щяр  щансы  бир 

p

)

A

(

P



  ещтималы 

иля  баш  верян  тясадцфи  щадисядир.  А  щадисяси  баш  верирся, 

1

X



,  якс  щалда 

0

X



.  Тясадцфи  гиймятляр  алан  Х  кямиййяти  А  щадисясинин  индикатору 

(ашкарлайыъысы) адланыр. Уйьун ещтималлар: 

p

)

1

X

(

P





; 

p

1

)

0

X

(

P







. 

4.2. Пуассон  пайланмасы.  Сай  чохлуьундан  мцмкцн 



 ,

k

,

,

2

,

1

,

0

 

гиймятлярини уйьун  











e

!

k

)

x

X

(

P

k

k

, 



,

2

,

1

,

0

k



 

ещтималлары  иля  алан  дискрет  тясадцфи  кямиййят  Пуассон  гануну  иля  пайланмыш 

кямиййят адланыр.   

Бурада 

0







 пайланманын параметридир; 

1

!

0



. 

Шякил  5.19, а  вя  б-дя 

1

.

0





  вя 

1





  щалында  Пуассон  пайланмасы 

 

127 

 

эюстярилмишдир. 

 

                       а)                                            б)       

Шякил 5.19 

 

Мисал 5.12. Фярз едяк ки, Х автомобилин 100000 км мясафя гят едяркян 

тякяринин дешилмяляринин сайыдыр.  

Сцбут  олунмушдур  ки,  бу  тип  тясадцфи  кямиййят  Пуассон  пайланмасы  иля 

адекват  йазыла  биляр.  Яэяр  тякярин  цч  дяфя  дешилмя  ещтималыны  щесабламаг 

истяйирикся, 

3

k



 гябул етмяк лазымдыр: 

 

   





























e

6

e

3

2

1

e

!

3

)

3

(

P

3

3

3

. 

Параметр 



  йолун  щамарлыг  дяряъясиня,  даьлыг  вя  дцзян  яразилярдян 

кечмясиня вя с. характеристикалара ясасян сечиля биляр. 

3





 цчцн 

224

.

0

)

3

(

P



. 

■

 

Пуассон пайланмасынын рийази эюзлямясини тапаг. (5.14) дцстуруна ясасян:    

 

   



















e

!

k

k

m

k

0

k

x

. 

  

Демяли, 



  параметри  Пуассон  пайланмасында  рийази  эюзлямя  ролуну 

ойнайыр. 

 

5.8.4. Təsadüfi kəmiyyətin statistik xarakteristikalarının

  

           

təcürbə ısasında təyini  

  

Тясадцфи кямиййятин мцшащидя (тяърцбя) мцддятиндя топланмыш гиймятляр 

чохлуьу  статистик  верилянляр  адланыр. Практикада  мцшащидя  мцддяти  мящдуд 

олдуьундан  статистик  верилянлярин  щяъми  дя  мящдуддур.  П.Л.Чебышевин  бюйцк 

ядядляр  ганунуна  эюря  верилянлярин  сайы  ня  гядяр  чох  оларса,  щесабланан 

эюстяриъи  юзцнцн  щягиги  гиймятиня  даща  йахын  олар.  Мящдуд  статистик 

верилянляр цзяриндя апарылан тядгигатлар рийази статистиканын предметидир. 

Тяърцби 

верилянляр 

ясасында 

алынмыш 

характеристикалар 

емпирик 

характеристикалар  адланыр.  Бурада  нязяри  щиссядя  истифадя  олунан  анлайышлар  да 

бир гядяр дяйишдирилмишдир. Мисал цчцн, рийази эюзлямя явязиня статистик орта вя 

йа емпирик пайланма функсийасы анлайышларындан истифадя олунур. 

1. Статистик  орта  гиймят. Мящдуд  Н  щяъмли  (сайлы)  статистик  верилянляр 

 

128 

 

щалында: 







N

1

i

i

x

x

N

1

m

. 

2. Дисперсийа  

   

 

 

         

1

N

)

x

m

(

D

N

1

i

2

i

x

x











. 

дцстуру иля щесабланыр. 

Верилянлярин  сайы  артдыгъа,  йяни 





N

  щалында 

x

x

m

m



, 

x

x

D

D



  юз 

щягиги гиймятляриня йахынлашырлар. 

3. Емпирик  пайланма  функсийалары.  Дискрет  тясадцфи  кямиййят  цчцн 

)

x

(

f

*

  интеграл  пайланма  функсийасынын  вя 

)

x

(

p

*

  ещтималларын  пайланма 

сыхлыьынын  статистик  верилянляр  ясасында  гурулмасы  гайдасы  яввялки  параграфда 

верилмишдир. 

Тясадцфи  кямиййят  Х  фасилясиз  олдуьу  щалда  конкрет 

i

x   гиймятинин 

йенидян  мейдана  эялмя  ещтималы  сыфыра  йахындыр.  Бу  сябябдян  бир  дяфя 

мейдана эялмиш 

i

x   цчцн  мейдана  эялмя 

i

m   тезлийи  сыфыра  йахын  олдуьундан 

ещтималын тягриби гиймяти олан 

n

/

m

p

i

*

i



 нисби тезлийи дя сыфыра йахын олаъагдыр. 

Нязяри ъящятдян, (5.4) дцстурундан эюрцндцйц кими, фасилясиз тясадцфи кямий-

йятин (дискрет  тясадцфи кямиййятдян  фяргли олараг) конкрет бир гиймятинин баш 

вермя ещтималы (







 щалы) сыфыра бярабярдир. Бу сябябдян яввялдя  тябиятъя 

дискрет  олан  тясадцфи  кямиййят  цчцн  шярщ  олунмуш  методиканы  фасилясиз 

тясадцфи кямиййят цчцн олдуьу кими тятбиг етмяк олмаз. 

Статик  верилянлярин  груплашдырылма  гайдасыны  бир  гядяр  дяйишсяк,  яввялдя 

шярщ  едилмиш  емпирик  пайланма  функсийаларынын  гурулма  цсулуну  фасилясиз 

тясадцфи кямиййятя дя тятбиг етмяк олар. 

Статик верилянлярин груплашдырылма гайдасы юелядир: 

1. Х-ин бцтцн дяйишмя интервалы 

]

x

,

x

[

x

max

min



 к сайда тягрибян бярабяр 

j

x



, 

k

,

1

j



  парчаларына  бюлцнцр.  Верилянляр  чох  сяпялянярся,  интервалы  цч 

сигма гайдасына ясасян даралтмаг олар.  

2.  x



 парчасынын узунлуьуну еля  сечмяк  лазымдыр ки, щяр парчайа 3-дян 

аз  верилян  дцшмясин.  Интервалын  узунлуьуну  чох  бюйцк  дя  эютцрмяк  олмаз. 

j

x



  интервалынын  сярщяддиндя  йерляшян  х-ин  гиймятини 

1

j

x





  интервалына  да 

дахил етмяк лазымдыр. 

3. Щяр бир парчайа дцшян гиймятляр орталашдырылыр:  

 

129 

 







j

m

1

i

j i

j

j

x

m

1

x

, 

k

,

,

2

,

1

j





. 

Бурада ж – парчанын нюмряси; 

j

m  – ж парчасына дцшян нюгтялярин сайы; 

j i

x – 

Х  тясадцфи  кямиййятинин  ж  парчасына  дцшян  гиймятидир.  Цмумиййятля,  йалныз 

)

x

(

p

*

  функсийасыны  тапмаг  тяляю  олунурса,  орта  гиймятлярин  щесабланмасына 

ещтийаъ йохдур.  

4. ж  парчасына  дцшян  нюгтялярин  сайы 

j

m  

j

x   орта  гиймятинин  тякрарланма 

тезлийи кими гябул олунур. 

5. Уйьун емпирик тезликляр (нисби тезликляр) щесабланыр:  

n

m

p

j

*

j



, 

k

,

,

2

,

1

j





. 

Бурада 

k

2

1

m

m

m

n









  –  мцшащидялярин  цмуми  сайы,  йяни  статистик 

верилянлярин щяъмидир. 

Беляликля,  апарылмыш  груплашма  нятиъясиндя  мясяля  дискрет  щалда  олдуьу 

шякиля  эятирилир.  Пайланма  функсийаларыны  гурмаг  цчцн  илкин  верилянлярин 

пайланма  ъядвяли  дискрет  тясадцфи  кямиййятляр  цчцн  олдуьу  кими  ашаьыдакы 

шякилдя йазылыр:    

 

j

x  

1

x  

2

x  

 

k

x  , 

j

m

 

1

m  

2

m  



 

k

m  . 

  

Бурада садялик цчцн х символунун цстцндяки хятт бурахылмышдыр.  

Емпирик пайланма функсийасы (5.18)-йя уйьун олараг 







x

x

*

j

*

j

p

)

x

(

f

,         

k

,

,

2

,

1

j





 

ифадяси  ясасында  гурулур  (бах,  шякил  5.20).    Бу  функсийанын  нязяри 

)

x

(

f

 

пайланма  функсийасындан  фярги  ондадыр  ки, 

)

x

(

f

  функсийасы 

x

X



  гиймяти 

цчцн башвермя ещтималыны, 

)

x

(

f

*

 ися нисби тезлийи ифадя едир. 

Инди емпирик 

)

x

(

p

*

 ещтималларын пайланма сыхлыьынын гурулмасы гайдасы иля 

таныш олаг. Бу пиллявари фигур нисби тезликляр щистограмы адланыр. Анлайыша ясасян 

ещтимал  сащяйя  бярабяр  олдуьундан  ж  парчасына  уйьун  дцзбуъаглынын 

щцндцрлцйцнц тапмаг цчцн 

j

*

j

j

x

p

h





 

дцстурундан истифадя олунур. 

Шякил  5.20-дя  нисби  тезликляр  щистограмы  эюстярилмишдир.  Щистограмын 

 

130 

 

цмуми сащяси ващидя бярабярдир: 



























k

1

j

*

j

j

*

j

k

1

j

j

j

k

1

j

j

.

1

p

x

p

x

h

x

S