Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama yechimining mavjudlik va yagonalik teoremasi

9.1-ilova
Har bir mashg'ulot 0,5balldan 2 ballgacha baholanadi. Ekspert guruxlarning ish natijalarini baholovchi me'zonlari

Me'zonlar	Ball	%	Gurux natijalari bahosi
			1	2	3	4
Axborotning to'liqligi	1,0	50
Masala yechimining boshqacha usuli, illyustratsiyasi(grafik tarzda taqdim etish, ayrim hisoblashlarni aniq ko'rsatish va h.k.)	0,6	30
Gurux faolligi (qo'shimcha, berilgan savol, javoblarning soni)	0,4	20
JAMI	2	100

86-100% / a'lo"
71-85% / - "yaxshi"
55-70% / - "qoniqarli"
0-54%-- "qoniqarsiz".
9.2.-ilova

"Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama yechimining mavjudlik va yagonalik teoremasi" mavzusi bo‘yicha tarqatma material

YECHIM VA UMUMIY YECHIM TUSHUNCHASI. KOSHI MASALASI

1. Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar ushbu

(1)
ko’rinishda yoziladi. Bu yerda uch argumentli funksiya bo’lib, uch o’lchovli fazoning ochiq to’plamida ( sohada) aniqlangan. Agar bu to’plamni tekisligiga ortogonal proyeksiyalasak, da biror ochiq to’plam ( soha) hosil bo’ladi.
1-ta’rif. (1) differensial tenglama berilgan bo’lib, funksiya fazoning sohasida aniqlangan bo’lsin. Agar (ochiq, yopiq yoki yarim ochiq) intervalda aniqlangan funksiya uchun quyidagi uchta shart:
(2)
bajarilsa, bu funksiya intervalda (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. (1) tenglamaning yechimiga mos egri chiziq (ya’ni funksiyaning grafigi) uning integral egri chizig’i (yoki soddagina integral chizig’i) deyiladi.
Agar parametrik ko’rinishda berilgan ( parametr ning o’zgarish sohasi yopiq, ochiq, yarim ochiq intervaldan iborat) funksiya uchun bo’lib, quyidagi uchta shart:

bajarilsa, u holda funksiya intervalda (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi. Ba’zi hollarda yechimni shu ko’rinishda izlash yoki yozish qulay bo’ladi.
(1) differensial tenglama uchun ham
(*)
differensial tenglama uchun aytilgandek yechim uch: ko’rinishdan bittasi orqali izlanadi.
Agar (1) differensial tenglama ga nisbatan bir qiymatli yechilishi mumkin bo’lsa, u holda (*) differensial tenglamaga kelamiz. Ammo (1) doim bir qiymatli yechilavermaydi.
(1) differensial tenglama ochiq to’plamning har bir nuqtasida ning bitta yoki bir nechta qiymatlarini aniqlasin deylik. Har bir nuqtada dan foydalanib bitta yoki bir nechta birlik vektor chizamiz. Natijada yo’nalishlar maydoni hosil bo’ladi. Endi integral chiziqlarning taqribiy tasvirini olishimiz mumkin.
Umumiy yechim tushunchasini kiritishdan avval (1) tenglama uchun Koshi masalasini qo’yamiz.
Koshi masalasi: (1) differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin yoki geometrik nuqtai nazardan, (1) differensial tenglamaning nuqtadan o’tuvchi integral chizig’i ko’rsatilsin.
(1) differensial tenglama ga nisbatan yechilishi mumkin deylik. U holda nuqtaning biror atrofida uchun bir necha haqiqiy qiymatlarni (haqiqiy funksiyalarni) topamiz:
(3)
Agar har bir funksiya biror mavjudlik va yagonalik teoremasining shartlarini qanoatlantirsa, u holda nuqtadan (1) differensial tenglamaning ta integral chizig’i o’tadi. Ba’zi funksiyalar kompleks bo’lsa, u holda biz faqat funksiyalar bilan ish ko’ramiz. Bu holda nuqtadan tegishli differensial tenglamaning ta integral chizig’i o’tadi.
2-ta’rif. (1) differensial tenglama nuqtaning biror atrofida ga nisbatan yechilishi mumkin, ya’ni (3) tenglamalarga ajraladi deylik. Agar har bir (3) tenglama
(4)
umumiy yechimga ega yoki
ixtiyoriy o’zgarmas (5)
umumiy integralga ega bo’lsa, u holda (4) umumiy yechimlar to’plami (yoki (5) umumiy integrallar to’plami) berilgan (1) differensial tenglamaning umumiy yechimi (yoki umumiy integrali) deyiladi.
Kiritilgan ta’rif (1) tenglama ga nisbatan cheksiz ko’p yechimga ega bo’lgan hol uchun ham o’rinli bo’ladi.
3-ta’rif. Agar (1) tenglamaning biror intervalda aniqlangan yechimining har bir nuqtasida Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, u holda yechim berilgan tenglamaning xususiy yechimi deyiladi.
Yuqoridagi ta’riflar munosabati bilan maxsus yechim tushunchasini kiritish lozim bo’ladi.
4-ta’rif. Agar funksiya (1) tenglamaning intervalda aniqlangan yechimi bo’lib, funksiya bilan tavsiflanadigan integral chiziqning har bir nuqtasidan integral chiziqdan tashqari shu nuqtada bilan bir xil yo’nalishga ega bo’ladigan, ammo o’sha nuqtaning ixtiyoriy atrofida undan farq qiladigan yana boshqa integral chiziq o’tsa, u holda yechim (1) tenglamaning intervalda aniqlangan maxsus yechimi bo’ladi.
Misol.
differensial tenglamani ko’rinishda yozish mumkin. Ma’lumki, abssissa o’qi (ya’ni chiziq) va kubik parabolalar bu tenglama uchun integral chiziq bo’lib xizmat qiladi. Ammo chiziqning har bir nuqtasidan bir xil yo’nalishda ikkita integral chiziq o’tadi. Shuning uchun maxsus yechimdir.