Hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli differensial tenglama yechimining mavjudlik va yagonalik teoremasi

YECHIMNING MAVJUDLIGI VA YAGONALIGI
1-teorema. Agar (1) differensial tenglamada funksiya uchun ushbu ikkita shart:
(21)
tenglamaning biror haqiqiy ildizi uchun nuqtaning biror atrofida funksiya uzluksiz va birinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega;

bajarilsa, u holda shunday mavjud bo’ladiki, (1) differensial tenglamaning oraliqda aniqlangan , shartlarni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud.
Isbot. Oshkormas funksiyalar haqidagi ma’lum teoremaga ko’ra (1) tenglama da ni bir qiymatli funksiya sifatida aniqlaydi, ya’ni
, (22)
bunda funksiya yopiq to’plamda uzluksiz, birinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega va . Shuning uchun funksiya yopiq to’plamda bo’yicha Lipshis shartini qanoatlantiradi. Demak (22) differensial tenglama Pikar teoremasiga asosan oraliqda aniqlangan yagona yechimga ega bo’lib, bo’ladi. Xuddi shu yechimga (1) tenglama ham ega. Endi ekanini ko’rsataylik. Haqiqatan, (22) tenglama uchun ayniyatga aylanadi: .
Agar bo’lsa, .

1-natija. 1-teoremaning shartiga ko’ra nuqtaning atrofida , .

2-natija. Agar (21) tenglama bir necha haqiqiy yechimlarga ega bo’lsa, har bir nuqtaning yopiq atrofida (1) differensial tenglama ni bir qiymatli aniqlaydi, ya’ni . Shu bilan birga har bir uchun tegishli differensial tenglama nuqtadan o’tuvchi yagona integral chiziqqa ega. Boshqacha aytganda, nuqtadan ta yo’nalish bo’yicha faqat ta integral chiziq o’tadi.
Agar nuqtada Koshi masalasi yagona yechimga ega bo’lsa, u nuqtani oddiy nuqta deyiladi. Bu nuqtaga mos yechimni oddiy yechim, integral chiziqni esa oddiy integral chiziq deyiladi.
Shunga o’xshash, agar nuqtada Koshi masalasi uchun yagonalik o’rinli bo’lmasa, u holda bu nuqta (1) differensial tenglamaning maxsus nuqtasi deyiladi. Maxsus nuqtalar to’plami maxsus yechim bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin. Maxsus yechim grafigi maxsus integral chiziq deyiladi.
Demak, nuqtaning yetarli kichik yopiq atrofida 1-teoremaning biror sharti buzilganda maxsus nuqtaga ega bo’lishimiz mumkin. 1-teorema faqat yetarli shartni belgilagani uchun nuqta aytilgan holda maxsus bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin.