I bob koordinatalar sistemalari va to’G’ri chiziq tenglamalari 1 Dekart va qutb koordinatalar sistemasi

Sferik koordinatalar sistemasi. Fazoning berilgan nuqtasidan bir xil masofada yotgan nuqtalari to‘plami sfera deyiladi. Berilgan nuqta sferaning markazi, markazdan sferaning biror (yoki ixtiyoriy) nuqtasigacha bo‘lgan masofa sferaning radiusi deyiladi.
Fazoda qutb koordinatalar sistemasi kiritilgan tekislik va uni qutb orqali perpendikulyar kesib o‘tuvchi o‘q berilgan bo‘lsin. Bunda o‘q shunday yo‘nalganki, yo‘nalishning “oxiri”dan kuzatganda qutb tekisligidagi musbat burilish soat strelkasi harakatiga qarama-qarshi bo‘lsin. Fazodagi har bir nuqtaning nuqtaga nisbatan vaziyati undan nuqtagacha bo‘lgan masofa, uning qutb koordinatalar tekisligiga proeksiyasi bilan qutb o‘qi orasidagi burchak, kesma bilan o‘qining musbat yo‘nalishi orasidagi burchak orqali aniqlash mumkin. Bu holat kabi yoziladi. Hosil bo‘lgan sistema sferik koordinatalar sistemasi deyiladi.
Qutb koordinatalar tekisligini sferik koordinatalar sistemasining fundamental tekisligi deb ham yuritishadi; masofani radius, burchakni azimut, o‘qini zenit, burchakni zenit burchagi deyishadi.


sferik koordinatalar sistemasidagi kattaliklar
, ,
shartlarni qanoatlantirishi talab etiladi.


nuqtaning sferik koordinatalaridan Dekart koordinatalariga quyidagicha o‘tiladi:
,
,
.
Teskari, ya’ni nuqtaning Dekart koordinatalaridan uning sferik koordinatalariga o‘tish quyidagi almashtirishlar orqali bajariladi:
,
,
.
1.3 Qutb koordinatalar sistemasi haqida tushuncha.
Tekislikdagi nuqtaning o’rnini qutb koordinatalar sistemasida aniqlash uchun biror nuqta olib, bu nuqtadan to’g’ri chiziqni o’tkazamiz va bu to’g’ri chiziqda musbat yo’nalishni belgilaymiz.

1.3.1-chizma(qutb koordinjatalar sistemasi)
nuqtani qutb, o’qni esa qutb o’qi deb ataymiz.
Endi ma’lum masshtab birligi olib, tekislikdagi ixtiyoriy nuqtaning o’rnini qutbga va qutb o’qiga nisbatan aniqlaymiz.
Buning uchun nuqta bilan qutbni tutashtiramiz. Natijada qutbdan nuqta-gacha bo’lgan masofa va qutb o’qi bilan yo’nalgan kesma orasida burchak hosil bo’ladi. Bunda shu nuqtaning qutb radiusi, burchak esa nuqtaning qutb burchagi deyiladi va qutb koordinatalari va bo’lgan nuqta kabi yo’ziladi.
Agar qutb burchagi qutb o’qidan soat strelkasi yo’nalishiga teskari harakat qilsa, musbat va aksincha soat strelkasi yo’nalishi bo’yicha harakat qilsa, manfiy deb qabul qilinadi. burchakni trigonometriyadagi burchak deb tushinishga kelishib olamiz, ya’ni bu burchakni ishorasi bilan qushiluvchi aniqligida qaraymiz. va ni nuqtaning qutb koordinatalari deb ataymiz va chizmada yozamiz. nuqta qutb burchagining tengsizliklarni qanoatlantiradigan qiymati uning qutb burchagining bosh qiymati deb ataladi.
Yuqorida aytilganlarga binoan, qutb koordinatalari uchun va tengsizlik o’rinli bo’ladi. Qutb koordinatalariga bunday shartni qo’ymaslik ham mumkin. Bu holda bilan ni umuman dan gacha o’zgaradi deb qarala-di. burchak dan gacha o’zgarganda qutb koordinatalar sistemasi umumlashgan qutb koordinatalar sistemasi deyiladi.
Agar nuqtaning ma’lum bo’lsa, (1.3-chizma) u holda uning Dekart koordinatalari formulalari orqali ifodalanadi.
Agar nuqtaning Dekart koordinatalari va berilgan bo’lsa, uholda uning qutb koordinatalari:
, , ,
formulalar orqali topiladi.
Ba’zi bir masalalarni yechishda qutbdan o’tuvchi bitta to’g’ri chiziqda nuqtaning turli tomonida joylashgan ikkita va nuqtalarni qarashga to’g’ri keladi(1.3-chizma) Bu holda va nuqtalarning qutb burchagi sifatida kesmadan nurgacha bo’lgan burchakni olish mumkin. Bunda ni nuqta uchun musbat, nuqta uchun esa manfiy deb hisoblanadi.
Y

O x
O x 1.3.2-chizma (turli koordinatalar sistemasida nuqtalar simmetriyasi)
Y
O x O


1.3.3-chizma.(turli koordinatalar sistemasida nuqtalar simmetriyasi)
Qutb koordinatalar sistemasida berilgan funksiyaning umumiy ko’rinishi yoki chizmaida bo’ladi. funksiyani qutb koordinatalar sistemasida tekshirsak, Dekart koordinatalar sistemasida ga taqqoslash yo’li bilan ham amalga oshirish mumkin, bunda ni ga ni esa ga al-mashtiriladi. funksiyani tekshirish sxemasi tekshirish sxemasi kabi tekshiriladi. funksiyaning aniqlanish sohasi endi funksiyaning aniqlanish sohasi ga mos bo’ladi. funksiyaning maxsus nuqtalari funksiyaning maxsus nuqtalarga mos keladi.
1) juft funksiya bo’lsin. U holda tenglikka asosan, egri chiziqning va nuqtalari egri chiziqning va nuqtalariga mos keladi. (1.33-chizma)
2) toq funksiya bo’lsin. U holda Dekart koordinatalar sistemasining koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik bo’lgan va nuqtalari qutb koordinatalar sistemasining qutbiga nisbatan simmetrik
bo’lgan va nuqtalarga mos keladi (1.34-chizma), Dekart koordinatalar sistemasidagi va nuqtalar esa qutb koordinatalar sistemasidagi va nuqtalariga mos keladi. (1.35-chizma)
y
x


1.3.4-chizma( funksiya va funksiyani tekshirish sxemasi)
Y

x O O

1.3.5-chizma( funksiya va funksiyani tekshirish sxemasi)
3) agar egri chiziq bo’lganda abssisalar o’qiga nisbatan sim-metrik bo’lsa, Dekart koordinatalar sistemasidagi va nuqtalarga qutb koordinatalar sistemasidagi va nuqtalariga mos keladi. (1.36-chizma)
Y

O X O


1.3.6-chizma. ( funksiya va funksiyani tekshirish sxemasi)
4) agar egri chiziq bo’lganda abssisalar o’qiga nisbatan sim-metrik bo’lsa, bu chiziqning Dekart koordinatalar sistemasidagi va nuqtalari qutb koordinatalar sistemasining va nuqtalariga mos keladi.
5) agar funksiya davriy bo’lsa, funksiya ham davriy bo’la-di va ularning davrlari o’zaro teng.
Agar chegaralangan bo’lsa, uning grafigi va to’g’ri chiziqlar orasida bo’ladi.Unga mos funksiya uchun ham tengsizlik o’rinli bo’ladi, funksiyaning grafigi ichki radiusi , tashqi radiusi bo’lgan halqaning ichida joylashadi.
Agar funksiya nuqtada ekstremumga ega bo’lsa, funksiya da ekstremumga ega bo’ladi.
Agar funksiya biror oraliqda kamayuvchi bo’lsa, qutb koordinatalar sistemasida funksiya uchun qutb radiusining qiymati: soat strelkasi bo’-yicha harakat qilganda kamayadi,soat strelkasiga teskari harakat qilganda esa uning qiymati ortadi.
Nuqtaning qutb va Dekart koordinatalari orasidagi asosiy munosabatlar.
Ba’zi masalalarda qutb koordinatalar sistemasidan Dekart koordinatalariga yoki aksincha Dekart koordinatalaridan qutb sistemasiga o’tishga to’g’ri keladi. Bu masala nuqtaning ikkala sistemasiga nisbatan koordinatalari orasidagi mavjud bo’lgan munosabatlar yordamida hal qilinadi.
Bu munosabatlarni aniqlab olamiz.
funksiyaning Dekart koordinatalar sistemasidagi gorizontal asimptotasi qutb koordinatalar sistemasiga radiusli asimptotik aylana bo’lib ko’chadi. Xususiy holda bo’lsa, aylana nuqtaga aylanadi.
chiziqning Dekart koordinatalar sistemasidagi vertikal asimpto-tasi qutb koordinatalar sistemasiga nur bo’lib ko’chadi.Xususiy holda bolsa, asimptota qutb koordinatalar sistemasiga qutb o’qi bo’lib o’tadi. Agar ( biror butun son) bolsa, asimptota vertikal nur bo’lib o’tadi.
Agar chiziq Dekart koordinatalar sistemasida asimpto-taga ega bo’lsa,bu og’ma asimptota qutb koordinatalar sistemasiga Arximed spirali bo’lib o’tadi.Xususiy holda egri chiziqning asimptotasi Arximed spirali bo’lib o’tadi.