I боб. КЎП Қатламли плиталарнинг эластик асос билан котакт муносабатига доир масаланинг ечилиши

1.2-§. Масаланинг ечилиш усули
Қулайлиги учун абсолют координатанинг ярим балка - плита узунлиги га нисбатидан иборат ўлчовсиз координата билан иш юритамиз.
Асоснинг реактив босимининг тарқалиш қонуниятини Чебишевнинг номалум коэффициентли ортогонал кўпҳадларининг қатори кўринишида қабул қиламиз:

Бу ерда Чебишевнинг биринчи тур ортогонал кўпҳади; номаълум коэффициент; кўпҳаднинг вазн функсияси.
Асоснинг реактив босими мувазанат тенгламаларини қаноатлантириши керак, яъни қуйидаги тенгликлар бажарилиши лозим:

Бу ерда мос равишда барча вертикал кучлар ва уларнинг моментлари йиғиндилари.
Ёзилган (1.4) тенгликни (1.5) тенгликларга қўйиб кўпҳадларнинг ортогоналлигидан фойдаланиб номаълум коэффициентларнинг дастлабки иккитаси лар учун

тенгликларни ҳосил қиламиз.
Агар (1.4) тенгликни (1.2) тенгликга қўйиб ва унда маълум

формулани инобатга олсак, асоснинг чўкишини ифодаловчи куйидаги

формулага эга бўламиз.
Шуни эътироф этиш керакки, агар (1.4) қаторда фақат иккита коэффициентли ҳадлар билан чеклансак, асосда ётувчи абсолют бикир балка-плитага асоснинг босимини топишга келиб қоламиз. Агар (1.4) қаторнинг қайд этилган қўшилувчи ҳадларидан кейинги ҳадлари ҳисобга олинса (1.4) қатор асосда ётувчи абсолют бикир балка-плитадан фарқли бўлган ҳолдаги асоснинг босимини ифодалайди.
Соддалик учун эластик асосда ётувчи икки қатламли балка-плитани қараймиз (1.3, 1.4-расмларга қаралсин).


У ҳолда балка-плиталарнинг эгилишини ифодаловчи дифференциал тенгламалар системаси (1.1), қуйидаги кўринишни олади

Дифференциал тенгламалар (1.8) системасини ечиш учун
(1.9)
кўринишдаги белгилашларни қабул қилсак, (1.8) дан номаълумларга нисбатан қуйидаги дифференциал тенгламаларга келамиз:


Бу ерда

Ҳосил қилинган (1.10) ва (1.11) дифференциал тенгламаларнинаг аналитик кўринишдаги умумий ечимлари қуйидагича бўлади.


Бу ерда чегара шартлардан аниқланадиган интеграллаш ўзгармаслари;

қаралаётган (1.11) тенгламага мос биржинсли дифференциал тенгламанинг фундаментал ечимлари системаси бўлиб,

кўринишларга эга. Кўп ишлатиладиган бу функцияларнинг хосилалари қуйидагича:

функциялар (1.11) тенгламанинг хусусий ечимлари бўлиб, улар хосилалари билан бирга қуйидаги кўринишларга эга










Олинган (1.9) белгилашларга мувофиқ (1.12), (1.13) формулаларни инобатга олганимизда балка-плиталарнинг эгилишини ифодаловчи
(1.27)
(1.28)
ёки




формулаларни ҳосил қиламиз.
Ёзилган (1.4) тенглик инобатга олинганда (1.14) ва (1.22) формулалар қуйидаги кўринишларга эга бўлади:


Бу ерда










Якобининг ортогонал кўпхади бўлиб, қуйидаги формула билан аниқланади.


Келтирилган (1.32) (1.35) ифодаларни аниқлашда



формулалардан фойдаланилди.
Ёзилган (1.31), (1.32) формулаларни (1.29), (1.30) формулаларга қўйиб, қуйидаги тенгликларни ёзиш мумкин




Келтирилган (1.38) формула билан аниқланадиган функциянинг бўлгандаги ошкор кўринишини Чебишев кўпҳадининг аналитик

кўринишидан фойдаланиб топиш мумкин. Улар қуйидагичадир:










Балка–плиталарнинг эгилишини аниқловчи (1.30), (1.31) формулалар балка-плиталарнинг ихтиёрий қонуният орқали берилган ташқи кучлар билан юклангандаги, шунингдек балка-плиталарнинг ва улар орасидаги тўлдирувчининг ихтиёрий олинадиган бикирлик коэффициентлари учун умумий характерга эга. Улардаги интеграллаш ўзгармаслари ташқи кучнинг аниқ берилган қонуниятига мувофиқ чегара шартлардан фойдаланиб топилади.
Балка-плиталарнинг эгилишини аниқловчи (1.46), (1.47) формулалардан фойдаланиб мавжуд


формулалар ёрдамида балка-плиталардаги ички зўриқиш кучларини аниқлаш ва бахолаш мумкин.
Балка-плиталарнинг эгилишини ва асоснинг чўкишини топиш учун келтирилган (1.7), (1.46), (1.47) формулаларда коэффициентлар номаълумдир. Бу коэффициентларни топиш учун контакт шарт бўлган (1.3) тенгликдан фойдаланамиз. Бунинг учун (1.7) ва (1.46) формулаларни (1.3) тенгликга қўямиз. Ҳосил бўлган тенгликнинг ҳар икки тарафини ифодага кўпайтириб, сўнгра натижани ва гача оралиқда интеграллаймиз. Интеграллашда Чебишев Кўпҳадининг ортогоналлигидан фойдаланиб номаълум коэффициентларга нисбатан қуйидаги чексиз алгебраик тенгламалар системасини ҳосил қиламиз:

Бу ерда





Ёзилган (1.61), (1.62) фомулаларни бўлаклаб интеграллаш ёрдамида улардаги мавжуд сингулярликдан қутилиш ва ҳисоблашларни бажаришда қулай бўлган қуйидаги кўринишларга келтириш мумкин:





Шундай қилиб, қаралаётган масаланинг ечилиши (1.60) кўринишдаги чексиз алгебраик тенгламалар системасини таҳлил қилишга ва ечишга келтирилди. Бундай чексиз алгебраик тенгламалар системаси регуляр бўлсагина, уларнинг ягона чегараланган ечими мавжуд бўлади. Шунинг учун ҳосил қилинган чексиз алгебраик тенгламалар (1.60) системасининг регулярлигини кўрсатиш лозимдир.