I боб. КЎП Қатламли плиталарнинг эластик асос билан котакт муносабатига доир масаланинг ечилиши

1.4-§. Текис тақсимланган ташқи куч таъсиридаги икки қатламли балка-плитанинг асос билан муносабатига доир масалани ечиш
Фараз қилайлик, эластик асосда ётувчи икки қатламли балка-плиталарнинг ҳар бири алоҳида текис тақсимланган ташқи


кучлар билан юкланган бўлсин (1.5-расмга қаралсин).
Бундай ҳолда қўйилган ташқи кучларнинг симметриклиги учун асоснинг реактив нормал босимини аниқловчи (1.4) қаторнинг ҳадлари жуфт функциялардан иборат, яъни

кўринишга эга бўлади. Мувозанат (1.5) тенгламадан (1.83) формулани инобатга олганда, қуйидаги

тенгликни оламиз.
Эластик асоснинг чўкишини аниқловчи (1.7) формуладан (1.83) тенгликка мувофиқ

ифодани ҳосил қиламиз.
Ташқи кучлардан бевосита боғлиқ (1.14), (1.17) формулалар мос равишда


кўринишларга келади.
Қаралаётган балка-плиталарнинг эгилишини аниқловчи (1.46), (1.47) формулалар келтирилган (1.83), (1.86), (1.87) тенгликларга мувофиқ қуйидаги шаклларга ўтади:






Балка-плиталарнинг эгилишини ифодаловчи (1.88), (1.89) тенгликлардаги интеграллаш ўзгармасларни масалага мос чегара шартларидан фойдаланиб топамиз.

1. 
   Балка-плиталарнинг симметрия маркази учун чегара шартлар
   

қуйидагича бўлади:

1. 
   ёки агар бўлса
   

Бу шартларни қаноатлантириб

қийматларга эга бўламиз.

2. 
   ёки агар бўлса
   

Бу шартларнинг бажарилишидан

қийматларни ҳосил қиламиз.
2. Балка – плиталарнинг четки нуқталари учун чегара шартларини қуйидагича оламиз:
c) , ёки агар бўлса
д) , ёки , агар бўлса
келтирилган бу шартларни қаноатлантириб,
(1.92)


қийматларни оламиз.
Бу ерда





Интеграллаш ўзгармасдан кўринишдаги нисбий эгилишга ўтиш билан қутиламиз.
Балка–плиткаларнинг эгилишини аниқлаш учун нтеграллаш коэффициентларининг топилган (1.90), (1.91), (1.92), (1.93), (1.94) қийматларини (1.88), (1.89) тенгликларга қўйиб, қаралаётган масалага мос чегара шартларни қаноатлантирувчи қуйидагича формулаларни ҳосил қиламиз:




Бу ерда

Чегара шартларни қаноатлантирувчи балка-плиталарнинг эгилишини ифодаловчи (1.98), (1.99) формулалардан фойдаланиб, (1.59) формулаларга мувофиқ балка-плиталарнинг ички зўриқиш кучларини топиш учун фуйидаги формулаларни ёзиш мумкин











Бу ерда келтирилган барча формулалардаги тенгликларнинг ўнг томонида ҳосила белгиси билан ёзилган функцияларнинг ошкор кўриниши мос равишда юқорида келтирилганлигини таъкидлаймиз.
Асоснинг чўкишини аниқловчи (1.85) формулада нисбий кўчишга ўтиб

ифодани хосил қиламиз.
Шундай қилиб қўйилган масала бўйича аниқланиши лозим бўлган барча номаълумлар коэффициентлар орқали ифодаланди. Номаълум коэффициентларни топиш учун (1.98) ва (1.107) тенгликларни контакт (1.3) шартга қўямиз. Ҳосил бўлган тенгликнинг ҳар икки таърафини ҳадлаб ифодага кўпайтириб, натижани -1 дан 1 гача оралиқда интеграллаймиз. Интеграллашдан сўнг кўпҳадларнинг ортогоналикларини инобатга олиб қуйидаги тенгликни ҳосил қиламиз:

Бу ерда




Келтирилган (1.108) тенглик номаълум коэффициентларга нисбатан чексиз алгебраик тенгламалар системасидан иборатдир. Бу системанинг маълум (1.109), (1.110) формулалар билан ҳисобланувчи интегралларда бўлаклаб интеграллаш формуласини қўллаб уларни ҳисоблаш учун қулай бўлган



кўринишларга келтирамиз.
Ёзилган чексиз алгебраик тенгламалар (1.108) системасини редукция усули билан ечиш учун системадан дастлабки 4 та номаълумни ўз ичига олган дастлабки 4 та тенгламалар системасини ёзиб оламиз:

Бу ерда (1.84) формула билан аниқланувчи коэффициентни маълум деб қараймиз.
Олинган (1.114) алгебраик тенгламалар системасини аналитик ечиш мумкин. Бу системадага 4 та номаълум (1.83) қаторнинг дастлабки 4 та қўшилувчиларининг номаълум коэффициентларидан иборатдир. Шунинг учун, (1.108) чексиз алгебраик тенгламалар системасидан қанча номаълумни аниқлаш лозимлиги (1.83) қаторнинг шунча дастлабки қўшилувчиларини олиш билан тенг кучли эканлигини қайт этиш мумкин.