Ихтиёрий тўпламлар учун қуйидаги муносабатлар исботлансин

32-вариант.

1. 
   Ихтиёрий натурал сон учун қуйидаги тенгликнинг ўринли бўлишини математик индуксия усули ёрдамида исботланг.
   
2. 
   Агар ва шаҳарларни тўртта йўл, ва шаҳарларни эса учта йўл боғласа, у ҳолда шаҳардан шаҳар орқали шаҳарга бориш имкониятлари сонини аниқланг.
   

33-вариант.

1. 
   Биномиал коеффициентларнинг қуйидаги хоссаларини исботланг:
   
2. 
   2-курс “Математика” йўналиши талабаларидан 12 нафарининг ҳар бири ўзбек ва рус тилларидан ташқари яна ҳеч бўлмаса битта чет тилини билади. Бу талабаларнинг 10 нафари тожик, 7 нафари инглиз, 6 нафари эса олмон тилини билади. Агар талабаларнинг 5 нафари тожик ва инглиз, 4 нафари тожик ва олмон ҳамда 3 нафари инглиз ва олмон тилларини билса, у ҳолда ўзбек ва рус тилларидан ташқари а) учала чет тилини, б) иккита чет тилини, д) фақат инглиз тилини биладиган талабалар сонини аниқланг.