Ii bob. Toʻgʻri chiziq va tekislikka doir metrik masalalar

Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish oʻqituvchining gʻoyaviy e’tiqod, kasb-mahoratiga, sa’nat, iste’doti va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bogʻliq. Talim-tarbiya jarayonini toʻgʻri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini sabarbar etish oʻqituvchilarnining birinchi navbatdagi vazifalaridan biridir.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar oʻqitilishiga boʻlgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uygʻunlashtirish maktabda oʻquvchilarga matematikani oʻqitishdan koʻzda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani oʻquvchilarni iroda, diqqatni toʻplab olishni, qobilyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan boʻlishini talab eta borib, mustaqil, maʻsulyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda oʻzining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish koʻnikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qoʻyiladigan eng muhim talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan boʻlishidir, va darsdan koʻzlangan maqsad hamda oʻquvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu hajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi oʻrganilgan mavzu bilan bogʻlash, oʻquvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak boʻladigan jihozlarni belgilash va qoʻshimcha koʻrgazmali qurollar bilan boyitish, qoʻshimcha axborot texnologiyalaridan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida oʻqituvchi oʻquvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak.
Kurs ishining maqsadi: Dekar koordinatalar sistemasi, dekart koordinatalar sistemasida toʻgʻri chiziq va tekislik va ularga doir metrik masalalar haqida ma’lumot berish.

I BOB. Koordinatalar sistemasi.

1.1 Geometriyaning kelib chiqishi.

Geometriya (geo va metriya)-matematikaning predmet va shakllarini oʻrganadigan boʻlimi. Yer oʻlchach bilan bogʻliq ravishda paydo boʻlgan. Masalan ochiq
silindrsimon idishning shakli hajmi sirtining yuzi geometriya oʻrganish obyektlari, uning rangi yoki qanday moddadan yasalgani esa geometriyani qiziqtirmaydi. Shuningdek asosi doira boʻlsa ham shaklda ellips bilan tassvirlanishi geometriyaga mansub munosabatdir. Geometriya tushunchalarini mavhumlashtirib, ideallashtitib oʻrganadi. Masalan silindirsimon idishning asosi doiradan biroz farq qilishi, yasovchisi toʻppa-toʻgʻri boʻlmasligi mumkin, sirti qalinlikga ega, asosi bilan yon sirti tik tutashmay, silliqlangan boʻladi, lekin geometriyada bu kabi tafsilotlar tadbiq qilinadi. Shunday yoʻl bilan oʻlchamlarga ega boʻlmagan nuqta, har ikki tomonga cheksiz davom etuvchi toʻgʻri chiziq kabi tushunchalar, parallelik, simmetriklik kabi munosabatlar hosil qilinadi. Buning evaziga tatbiq doirasi juda keng, ma’lum maʻnoda mutlaq va universal tabiatli qonuniyat aniqlanadi.
Geometriya oid dastlabki ma’lumotlar qadimgi Bobil va Misrda kuzatuv yoʻli (empirik usul) bilan toʻplangan. Masalan, bir juft parallel toʻgʻri chiziqni uchinchi toʻgʻri chiziq kesib oʻtsa, hosil boʻlgan 8 ta burchakdan toʻrttadani oʻzaro teng; tomonlari 3, 4 va 5 birlik boʻlgan uchburchakning bir burchagi toʻgʻri. Geometrik xossalari toʻplash yunonlar tomonidan davom ettirilgan. Bu muammo ustida mushohada ayrim dalilarni boshqalaridan sof mantiqiy mushohada bilan keltirib chiqarish isbot, isbotlangan xossa esa teorema deb atala boshlangan. Dastlabki shunday dalillardan biri Fales (mil.av.625-548 yillar) teoremasidir. Yunon faylasufi Pifagor akademyasida mantiq va matematika muhim oʻrin tutib, muntazam teoremalar isbotini izlash bilan shugʻullangan. Tabiiyki, bunda imkoni boricha oz dalildan boshqa barcha dalilarni keltirib chiqarishga urinilgan. Bu urinishlar yakuni sifatida Yevklid oʻzining mashhur “Negizlar” asrini yaratadi. Bu asar nafaqat matematik tarixida, balki umuman tafakkur taraqiyotida beqiyos oʻyin tutib, 2000 yil davomida mantiqiy mushohada namunasi boʻlib xizmat qildi. Negizlarda Yevklid nuqta, toʻgʻri chiziq, tekislik, tenglik, toʻgʻri chiziq yoki tekislikning nuqtadan oʻtishi (insidentlik) kabi tushunchalarni asos qilib olib, kesma, burchak, koʻpburchak, parallelik, perpendikulyarlik kabi tushunchalarga Ta’rif beradi. Xuddi shu singari 10 ta geometrik dalilni isbotsiz qabul qiladi (ular aksiomalar va postulatlar deb atalgan) va birin-ketin teoremalarni keltirib chiqaradi.
1-qadimgi Misr va Bobilda geometriya amaliy ehtiyojlar: maydonlar yuzini oʻlchash, navigatsiya, astronomiya, meʻmorlik masalalarini hal qilish uchun vujudga kelgan boʻlsa, Yunonistonda geometriya san’at sifatida ham rivojlanib, yuksak natijalarga erishdi. Xususan sirkul va chizgʻich yordamida shakllar yasash rivoj topdi. Yunonlarning bu sohada erishgan darajasi shundan ham koʻrinadiki, ular qoʻygan muntazam koʻpburchaklar yasash masalasi 1796 yil. (K.F.Gauss), doyra kvadraturasi masalasi esa 1882 yildagina (F.Lindemann) hal qilindi. Yunonlar doira va ayrim egri chiziqli shakllar yuzlari, piramida, konus va shar hajmlarini hisoblashda integral hisob elementlari qoʻllaganlar (Arximed va b.). Pergalik Apolloniyga mansub konus kesimlari nazriyasini esa shubhasiz yunon geometriyasining gultojisi deyish mumkin.
Milodning 3-asridan keyin yunon geometriyasi umuman madaniyat bilan birga inqiroz tomon yuz tutdi, lekin geometriya arab sharqi mamlakatkatlari, oʻrta Sharq, xususan, oʻrta Osiyolik olimlar faoliyati bilan bogʻliq. Ahmad al-Fargʻoniy stereografik proyeksiyaga oid Ptolemey qoldirgan teoremalarning isbotini berdi, tekislik trigonometriyasi va sferik trigonometriya yaratildi (Battoniy, Beruniy, Nasriddin Tusiy, Abul-Vafo va b). Algebra geometriyaga va geometriya algebraga tatbiq qilina boshladi. Bu goʻyalar 16-asrdan Yevropa olimlari tomonidan rivojlantirilib, analitik geometriyaga asos solindi, (P.Ferma, R.Dekart). Shu davrdan boshlab meʻmorchilik va tasviriy san’at yuksalishi munosabati bilan perspektiv akslantirish xossalari oʻrganiladi va proyektiv geometriya vujudga keldi. 18-asrda differensial geometriya rivojlandi. Yevklidning “Negizlari” 2000-yil davomida mantiqiy qat’iylik namunasi boʻlib kelganligiga qaramay, uning ayrim oʻrinlariga tanqidiy nazar bilan qaralib takomillashtirilgan: boshlangʻich tushunchalar tarkibi qayta koʻrib chiqilgan, nuqtalarning tartibiga oid va uzluksizlik aksiomalari bilan toʻldirilgan, qator akssiomalari bilan toʻldirilgan, qator aksiomalar esa boshqalari orqali isbotlanib, teoremalar qatoriga oʻtkizilgan. Bu ish D. Gilbertning “Geometriya asoslari” asarida yakunlandi. Deyarli Yevklid zamonidan boshlab uning 5-postulati yoki unga teng kuchli parallelik aksiomasini isbotlashga juda koʻp urinilgan (jumladan, Nasriddin Tusiy, Umar Xayyom, I. G. Lambert), chunki matematiklarda u teorema boʻlishi kerak degan ishonch hukm surgan, xilma-xil isbotlar ham taklif etilgan. Lekin bu isbotlarning barchasida mantiqiy nosozlik uchraydi-Yevklid aksiomasiga teng kuchli boshqa tasdiqdan (masalan, uchburchak burchaklarning yigʻindisi 180 ga tengligidan) foydalanib ketilgan.
Geometriya quyidagi boʻlimlardan iborat:
Elementar geometriya Planimetriya va Stereometriyani oʻz ichiga oladi. Shuningdek, nuqta, toʻgʻri chiziq, yuza va fazodagi jismlarni oʻrganadi.
Analitik geometriya – unda soda geometrik obrazlar (nuqtalar, toʻgʻri chiziqlar, tekisliklar, egri chiziqlar va sirtlar ) koordinatalar usuli asosida algebraik vositalar bilan oʻrganadi.
Geometriya-grekcha soʻz boʻlib, oʻzbek tilida “Yer oʻlchash” degan ma’noni beradi. Geometriya birinchi marta bundan 4000 yil muqaddam Misr va Bobilda vujudga kelgan. Eramizdan oldingi V asrda yashagan grek tarixchisi Geradot geometriyaning vujudga kelishi haqida bunday deydi: Misr shohi Soetros har bir misrlikka qura boʻyicha yer maydoni ajratib berar va yer egasidan shu yerga mos soliq undirar edi. Agar Nil daryosi toshib biror kishining yerini yuvib ketsa, u shohga xabar berar va shoh tanobchilar yuborib, u kishining yeri qanchaga kamayganligini aniqlatar hamda unga mos ravishda soliqni ham kamaytirar edi. Geometriya mana shunday paydo boʻlgan, soʻngra resiyaga oʻtgan. Bu haqida grek olimlaridan biri Evdem (eramizdan oldingi IV asr) bunday yozadi: Geometriyani misrliklar kashf etgan, u yer oʻlchash natijasida vujudga kelgan. Bu oʻlchashlar doim yerlarning chegarasini yuvib ketadigan Nil daryosining toshqinlari tufayli hosil boʻlgan. Bu fan ham boshqa fanlar singari, kishilarning ehtiyoji tufayli vujudga kelgan. Demak, geometriyani insoniyatning ehtiyoji vujudga keltirgan, ya’ni ular toʻgʻri chiziqlar oʻtkazishlari, maydonlarning yuzini hisoblashlari, buyumlarning hajmini aniqlashlari zarur boʻlgani uchun ham u Misrda boʻlmasa boshqa biror mamlakatda, albatta, vujudga kelar edi. Haqiqatan, matematikada ana shunday holatlar juda koʻp uchraydi. Turli mamlakatlarning matematiklari bir-birlaridan bexabar holda ayni bir teoremani kashf etganliklari, ayni bir masalani bir xil usulda yechganliklari haqidagi ma’lumotlar koʻp.
Misr va Gresiya. Qadimgi misrliklar bir necha yillar davomida asta-sekin turli sohalarda ilmiy ma’lumotlar toplay boshlagan. Ular ba’zi bir figuralarning yuzalarini, ba’zi masalalarining yechish usullarini ham bilishar edilar. Biroq fan sifatidagi geometriya hali ularda mavjud emas edi. Ularda oʻzaro bogʻlanmagan, tartibsiz holdagi juda koʻp qoidalar mavjud. Bunday qoida, masalalarni yechish usullari koʻproq ruhoniylar qoʻlida boʻlib, ular buni ommadan sir tutar edi. Qadimgi Misr shohlari boshqa davlatlar bilan tinimsiz urushlar olib borar, bu esa shubhasiz Misr davlati ekonomikasini kuchsizlantirishga olib kelar edi. Tarixda Misrni boshqa kuchliroq davlatlar bosib olgan, Misrning fan va madaniyatini tushkunlikka uchratgan davlatlar ham mavjud.
Misr va Gresiya davlatlari vujudga kelgan paytda ular orasida savdo-sotiq ishlari juda yaxshi yoʻlga qoʻyilgan edi. Gresiyalik savdogarlar Misrga turli-tuman buyumlar olib borib sotar, Misrdan esa oʻzlarining katta taassurotlari bilan qaytib, ular haqida oʻz yurtlarida hikoya qilib berar edilar. Keyinchalik savdogarlar bilan Misrga olimlar ham safar qiladigan, ularning turli fanlar sohasidagi yutuqlarini oʻrganib, oʻz yurtlarida uni ommalashtiradigan boʻlishdi. Ana shunday olimlardan biri miletlik Fales edi. Greklar misrliklarning matematika va fanining boshqa sohalaridagi bilimlarini shundayligicha qabul qilishmadi, balki ularda uchraydigan kamchiliklarni toʻgʻirlashdi, natijada geometriya rivojlanib bordi. Bundan tahminan 2500 yil ilgari Gresiyada geometriya matematik fan koʻrinishiga keldi. Gresiyada geometriya eramizdan oldingi VII asr oʻrtalarida Kichik Osiyoning gʻarbiy chegaralari Gresiyaga qarar edi. Uning oʻrta qismi Ioniya deb atalar, Ioniyada boshqa mamlakatlar bilan savdo-sotiq ishlarini olib boruvchi katta-katta shaharlar juda koʻp edi. Shunday shaharlardan biri Miletda yuqorida nomi tilga olingan Fales yashagan. Fales Gresiya fanining asoschisi hisoblanadi. U Misrga sayohat qilgan va u yerda turli fanlar bilan tanishgan. Falesni koʻproq geometriya qiziqtirgan. U Ioniya maktabini asoschisi hisoblanadi. Fales geometriyaga tegishli juda koʻp kashfiyotlar qilgan (ular haqida quyida hikoya qilamiz). Fales maktabi faqat matematik fanlarni sistemalashtirib qolmay, balki Gresiyada fanining rivojlanishiga katta ta’sir koʻrsatdi.
Eramizdan oldingi VI asrda matematik ijodlar markazi Ioniyadan janubiy Italiyaga koʻchdi. Bu maktabga mashhur Pifagor (tahminan eramizdan oldingi 570-500 yillarda) rahbarlik qilar edi. Pifagor maktabida nazriy arifmetika, algebra hamda geometriya bilan shugʻullanishar edi. Shunday qilib, Gresiyada eramizdan oldingi VI-V asrlarda geometriya ancha rivojlangan edi. Eramizdan oldingi V asrda xioslik Gippokrat geometriyada toʻplangan barcha faktlarni bitta kitobda bayon etishga urinib koʻrdi. Uning bu asari bizgacha yetib kelmagan. Gippokratning ana shunday asar yozganligini undan keyin yashagan qadimgi Gresiya olimlari Arxit, Platon, Yevdoks va Menexmlarining geometriyaga oid asarlaridan bilamiz. Gippokratdan ikki asr keyin eramizdan oldingi III asrda Yevklid geometriyaga doir barcha fanlarni toʻplab, uni mustaqil matematik fan sifatida bayon etdi. Oʻz asarini Negizlar deb atadi. Yevklid oʻz asarini bayon etishda asos qilib ba’zi jumlalar-aksiomalarni oldi va ulardan mantiqiy yoʻl bilan teoremalarni keltirib chiqardi. Yevklidning bu asari 1500 yil davomida Gresiyada va boshqa mamlakatlarda qoʻlda yozilib, oʻrganilib kelindi. Yevkliddan soʻng yashagan olimlar uning “Negizlar” iga ba’zi temalarni qoʻshib, ba’zi aniqliklar kiritdi. Asosiy material oʻzgarishsiz qoldi. Shu sababli ham biz oʻrta maktabda oʻrganadigan geometriya Yevklid geometriyasi deb ataladi.