Ii bob. Toʻgʻri chiziq va tekislikka doir metrik masalalar

1.2. Dekart koordinatalar sistemasi.

Koordinatalar gʻoyasi qadimgi zamonlardayoq vujudaga kelgan. Bu gʻoya birinchi marta Kichik Osiyoning Perrgam shaxrida eramizdan oldingi 262 yili tugʻilgan. Appoloniyning “Konus kesmalari” nomli asarida uchraydi. Albatta, koordinatalar tushunchasi kishilarga astrononmiyadan osmon jismlarining koordinatalarini aniqlashda, yerda esa ba’zi joylarning koordinatalarini aniqlashda kerak boʻlgan.
Geogmetriyaga koordinatalar metodini qadimgi grek astronomi Klavdiy Ptolomey (II asr) kiritgan. Toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasidan qadimgi Misrda kvadrat shaklidagi toʻr sifatida foydalanilganligi haqida arxeologlarning bergan ma’lumotlari bor.
Matematikaga koordinatalar metodini birinchi boʻlib XVII asrda yashagan fransuz matematiklari P. Ferma va R. Dekartlar kiritishgan. Koordinatalar metodini birinchi boʻlib oʻzining 1637 yilda nashr etilgan geometriya asarida R. Dekart bayon etgan. Shuning uchun ham toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasini “Dekart koordinatalar sistemasi” deyiladi. Koordinatalar metodida ishlatiladigon ”absissasi” va “ordinatasi” terminlari yuqorida biz eslatib oʻtgan Appolloniyning “Konus kesimlari” asarida uchragan mos terminlarning tarjimasidir.
“Absissa”- x oʻqidan ajratiladigan kesmadir.
“Ordinata”- y oʻqidan ajratiladigan kesmadir.
Bu terminlarning XVII asrda G. V. Leybnis kiritgan, absissa va ordinatani birgalikda koordinatalar deb atashni ham Leybnis taklif etgan. Dekart reperi affin reperining xususiy holi boʻlgani uchun affin reperda chiqarilgan tenglamalar dekart reperida xam oʻz kuchini saqlaydi, lekin dekart reperida tekislikka doir metrik xarakterdagi masalalarni yechish mumkin.
Koordinatalar ma’lum tartibda olingan va nuqtaning chiziqdagi tekislikdagi, sirtdagi yoki fazodagi vaziyatini xarakterlaydigan sonlardir. Nuqtaning koordinatalari tushunchasidan foydalanib, analitik geometriya fani geometrik shakllarni algebraik analiz yordamida tekshiradi. Analitik geometriyaning vazifasi: birinchidan geometrik obrazlarni nuqtalarning geometrik oʻrni deb qarab, shu obrazlarning umumiy xossalariga asosan ularni tenglamalarini tuzadi va ikkinchidan, tenglamalarning geometrik maʻnosini aniqlab, bu tenglamalar bilan berilgan geometrik obrazlarni shaklini, xossalarini va tekislikda yoki fazoda joylashishini oʻrganadi. Ravshanki, chiziqlar nuqtalarning geometrik oʻrnidir, sirtlarni esa chiziqlardan va jismlarni sirtlardan tashkil topgan deb qarash mumkin. Shuning uchun geometrik shakllarni tekislikda yoki fazoda nuqtalarning oʻrni deb qarash mumkin. Analitik geometriyada nuqtaning chiziqdagi, tekislikdagi va fazodagi oʻrni sonlar yordamida aniqlanadi. Nuqtaning oʻrnini aniqlovchi sonlar uning koordinatalari deyiladi. Endi koordinatalar sistemalari bilan tanishamiz:
birligi Musbati yoʻnalishi tanlab olingan l toʻgʻri chiziq oʻq deb ataladi. Oʻqni yoʻnalishi odatda strelka bilan koʻrsatiladi.
Ta’rif. Agar toʻgʻri chiziqda koordinatalar boshi deb ataluvchi O nuqta musbat yoʻnalish va masshtab tanlab olingan boʻlsa, u holda toʻgʻri chiziqda dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi. Bu O toʻgʻri chiziqdagi M nuqtani toʻla aniqlash uchun, undan O nuqtagacha boʻlgan masofa OM kesmaning uzunligi va yoʻnalishi berilgan boʻlishi kerak. Kesmaning yoʻnalishi + yoki – ishoralar orqali, masalan O nuqtadan oʻng tomonga koʻyilsa musbat, chap tomonga qoʻyilsa manfiy deb qabul qilingan. Shu qabul qilingan shartda, toʻgʻri chiziqning har bir nuqtasi yagona bir sonni ifodalaydi. Bu son qaralayotgan nuqtaning abssissasi (koordinatasi) deyiladi va x harfi bilan belgilanadi, xuddi shuningdek, harbir haqiqiy songa toʻgʻri chiziqda yagona nuqta mos keladi. Ya’ni toʻgʻri chiziq ustidagi nuqtalar va haqiqiy sonlar toʻplami orasida bir qiymatli moslik oʻrnatiladi. Analitik geometriyada nuqta berilgan deganda, uning koordinatasi berilgani tushuniladi.
Ta’rif: Tekislikda toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar ikkita oʻzaro perpendikulyar oʻq, ularni kesishish nuqtasi y O (sanoq boshi) va masshtab birligi berilgan boʻlsa. Odatda bu oʻqlarni biri gorizontal,  ikkinchisi vertikal joylashgan boʻladi( R. Dekart, fransuz olimi (1596-1650)). Bu oʻqlarni ikkalasi koordinata oʻqlari, ularning kesishgan nuqtasi (sanoq boshi) koordinata boshi deyiladi. Koordinatalar boshi oʻq uchun ham, oʻq uchun ham sanoq boshlanadigan nuqta hisoblanadi. Oʻqlarni har birida musbat yoʻnalishlar strelkalar bilan koʻrsatiladi. Nuqtaning tekislikdagi oʻrni ana shu koordinatalar sistemasiga nisbatan aniqlanadi. Tekislikda biror M nuqtaning oʻrini aniqlash uchun bu nuqtadan, va oʻqlariga perpendikulyar tushiramiz va koordinati oʻqlari bilan kesishish nuqtalarini R va Q bilan belgilaymiz. M nuqta berilgan boʻlsa, ravshanki R va Q nuqtalar aniqlanadi va R, Q ma’lum boʻlsa, M nuqtani oʻrnini aniqlash oson. Ma’lumki, kesmalarning uzunliklari biror uzunlik birligi bilan oʻlchanadi. Shu tufayli koordinata oʻqlarida masshtab birligi tanlab olingan boʻladi: x=OR, y=OQ deb belgilasak, bu sonlar yordamida tekislikda faqat bitta M nuqtani topamiz; x soni M nuqtani abssissasi, y soni esa uni ordinatasi deyiladi va koʻrinishda yoziladi. Masalan boʻlsa x=4, y=-5 ekanini bildiradi. Nuqta berilgan deymiz, agar uning koordinatalari berilgan boʻlsa, koordinata oʻqlari tekislikni toʻrt boʻlakka ajratadi, bu boʻlaklar choraklar deyiladi. Fazoda toʻgʻri burchakli koordinatalar sistemasi. Fazoda nuqtaning oʻrnini aniqlash uchun bir-biri bilan toʻgʻri burchak hosil qilib kesishadigan uchta tekisliklarni qaraymiz. Bu tekisliklarni koordinata tekisliklari deb ataladi. tekisliklari toʻgʻri chiziqlar boʻyicha kesishadi, bu chiziqlar koordinata oʻqlari deyiladi va abssissa oʻqi, ordinata oʻqi va applikatalar oʻqi deb ataladi. Bu uch oʻqning kesishgan nuqtasi O koordinatalar boshi deyiladi. Koordinata tekisliklari oʻzaro kesishib fazoni sakkiz qismga (boʻlakka) ajratadi. Bu boʻlaklar oktantlar deyiladi. Bu keltirilgan koordinata sistemasi fazoda toʻgʻri burchakli dekart koordinatalar sistemasi deyiladi. Fazoda toʻgʻri burchakli dekart koordinatalar sistemasini qisqacha quyidagicha Ta’riflash mumkin.
Ta’rif. Fazoda toʻgʻri burchakli dekart koordinatalar sistemasi berilgan deyiladi, agar 3 ta oʻzaro perpendikulyar oʻq, ularni kesishgan nuqtasi O va masshtab birligi berilgan boʻlsa. Fazoda har qanday nuqtaning oʻrni koordinata sistemasiga nisbatan 3 ta son bilan aniqlanadi. Fazoda biror M nuqta va ma’lum masshtab birligi berilgan boʻlsin M nuqtadan koordinata oʻqlariga perpendikulyarlar tushiramiz va ularni koordinata oʻqlari bilan kesishgan nuqtalarini R,Q,S bilan belgilaymiz. Agar R,Q,S nuqtalar berilgan boʻlsa M nuqtani topish mumkin. Demak M nuqtani fazodagi vaziyatini X=OR, Y=OQ va Z=OS S M miqdorlar belgilaydi va ular U M nuqtaning koordinatlari, Q aniqrogʻi x M nuqtaning abssissasi, U ordinatasi va R A Z aplekatasi deyladi. Agar X fazoda biror, nuqta berilgan boʻlsa, uni fazodagi vaziyatini quyidagicha aniqlash mumkin oʻqidan x ni topamiz, oʻqidan uni topamiz. R nuqtadan oʻqiga parallel qilib, Q nuqtadan oʻqiga parallel qilib toʻgʻri chiziqlar oʻtkazamiz va ularni kesishgan nuqtasini Q₁ bilan belgilaymiz. O₁ nuqtadan oʻqiga parallel qilib uzuq chiziq oʻtkazamiz. Shundan keyin z ni ishorasiga qarab, agar z > 0, boʻlsa O₁ dan yuqoriga qarab Z uzunliga z boʻlgan O₁Z va Z < 0 boʻlsa O₁ dan pastga qarab uzunligi O₁Z Z kesmi ajratamiz. O₁Z kesmani oxirgi Q y nuqtasi biz izlayotgan M nuqtadir. O M (5;6;3) nuqtani yasaylik: x=5 va y=6 x kesmalarni topib, ularni oxiridan R O₁  va oʻqiga parallel qilib uzuq x ,y chiziqlar oʻtkazamiz, soʻngri ularnir -5 kesishish nuqtasi O₁dan oʻqiga parallel qilib uzuq chiziqlar oʻtkazamiz. Z=3>0, boʻlganidi. O₁ nuqtadan yuqorigi qarab 3 birlik oʻlchaymiz, shu kesmani oxiri, ya’ni kesma hosil boʻladi. Ana shu topilgan nuqta biz izlayotgan nuqtadir. Takidlaymizki nuqta tekislikda nuqta fazoda berilgan boʻlsa. ni qaysi chorakda, esa qaysi aktantda ekanligini quyidagi 1 va 2 jadvaldan foydalanib aniqlash mumkin.

N0	X	y	choraklar
1	x>0	y>0	I
2	x<0	y>0	II
3	x<0	y<0	III
4	x>0	y<0	IV

1- jadval
Oktantlar (х;у;z) nuqta koordinatasini toppish

N0	X	Y	Z	Oktantalar
1	х>0	y>0	z>0	I
2	x<0	y>0	z>0	II
3	x<0	y<0	z>0	III
4	x>0	y<0	z>0	IV
5	х>0	y>0	z<0	V
6	x<0	y>0	z<0	VI
7	x<0	y<0	z<0	VII
8	x>0	y<0	z<0	VIII

2-jadval