Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi. Ikki vector orasidagi burchak. Ikki vektorning paralellik va ularning perpendikulyar shartlari

vektorning aralash ko’paytmasi.

={x₁, y₁, z₁}, ={x₂, y₂, z₂} va ={x₃, y₃, z₃}

vektorlar berilgan bo’lsa, bu vektorlarning aralash ko’paytmasi deb , x vektor ko’paytma bilan vektorning skalyar ko’paytmasiga aytiladi va odatda (x) ko’rinishda yoziladi

=, = x₃+y₃+z₃,

()=() (x₃+y₃+z₃)=

==

Aralash ko’paytmaning geometrik ma’nosi qirralari berilgan ,, vektorlarning modullaridan tashkil topgan parallelopepedning hajmini ifodalaydi.

Fazodagi ixtiyoriy , , vektorlarning komplanar vektorlar bo’lishi uchun ularning aralash ko’paytmasi nol bo’lishi zarur va kifoya.

Misol. Uchlari O(0;0;0) , A(5;2;0), B(2;5;0) , C(1;2;4) nuqtalarda bo’lgan parallelopipedning hajmini toping.

=84 kub birlik.

ekislikda bir nuqtadan chizilgan nolga teng bo'lmagan ikkita vektor berilgan bo'lsin: A vektor koordinatalari (x1, y1) B koordinatalari (x2, y2). In'ektsiya ular orasidagi th deb belgilanadi. th burchakning daraja o'lchovini topish uchun skalyar mahsulotning ta'rifidan foydalanish kerak.

Ikki nolga teng bo'lmagan vektorning skalyar ko'paytmasi bu vektorlar uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinuslari ko'paytmasiga teng son, ya'ni (A,B)=|A|*|B|*cos(th) . Endi bundan burchakning kosinusini ifodalash kerak: cos(th)=(A,B)/(|A|*|B|).
Skayar ko'paytmani (A,B)=x1*x2+y1*y2 formulasi yordamida ham topish mumkin, chunki ikkita ko'paytma. nolga teng bo'lmagan vektorlar mos vektorlar ko'paytmalari yig'indisiga teng. Agar nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa, u holda vektorlar perpendikulyar (ular orasidagi burchak 90 gradus) va keyingi hisob-kitoblarni o'tkazib yuborish mumkin. Agar ikkita vektorning skalyar ko'paytmasi musbat bo'lsa, ular orasidagi burchak vektorlar o'tkir va agar manfiy bo'lsa, u holda burchak to'liq bo'ladi.
Endi A va B vektorlarining uzunliklarini formulalar yordamida hisoblang: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Vektor uzunligi quyidagicha hisoblanadi Kvadrat ildiz uning koordinatalari kvadratlari yig'indisidan.
2-bosqichda olingan burchak formulasiga skalar mahsulotning topilgan qiymatlarini va vektorlarning uzunliklarini almashtiring, ya'ni cos(th)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Endi ning qiymatini bilib, orasidagi burchakning daraja o'lchovini topamiz vektorlar Bradis jadvalidan foydalanishingiz yoki undan olishingiz kerak: th=arccos(cos(th)).
Agar A va B vektorlari uch oʻlchamli fazoda berilgan boʻlsa va mos ravishda (x1, y1, z1) va (x2, y2, z2) koordinatalariga ega boʻlsa, burchak kosinusini topishda yana bitta koordinata qoʻshiladi. Bu holda kosinus: cos(th)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).
Foydali maslahat
Agar ikkita vektor bir nuqtadan chizilmagan bo'lsa, ular orasidagi burchakni parallel ko'chirish orqali topish uchun bu vektorlarning boshlanishini birlashtirish kerak.
Ikki vektor orasidagi burchak 180 darajadan katta bo'lishi mumkin emas.
Manbalar:

• 
  vektorlar orasidagi burchakni qanday hisoblash mumkin
  
• 
  Chiziq va tekislik orasidagi burchak
  

Fizika va chiziqli algebrada amaliy va nazariy ko'plab masalalarni hal qilish uchun vektorlar orasidagi burchakni hisoblash kerak. Agar siz skaler mahsulotning mohiyatini va ushbu mahsulot natijasida qanday qiymat paydo bo'lishini aniq tushunmasangiz, bu oddiy ko'rinadigan vazifa juda ko'p qiyinchiliklarga olib kelishi mumkin.
Ko'rsatma
Chiziqli vektor fazodagi vektorlar orasidagi burchak vektorlarning koordinatsiyasiga erishiladigan minimal burchakdir. Vektorlardan biri boshlang'ich nuqtasi atrofida olib boriladi. Ta'rifdan ma'lum bo'ladiki, burchakning qiymati 180 darajadan oshmasligi kerak (qadamga qarang).
Bunday holda, chiziqli fazoda vektorlar parallel ravishda uzatilganda, ular orasidagi burchak o'zgarmaydi, deb juda to'g'ri taxmin qilinadi. Shuning uchun burchakni analitik hisoblash uchun vektorlarning fazoviy yo'nalishi muhim emas.
Nuqta mahsulotining natijasi raqam, aks holda skalerdir. Keyingi hisob-kitoblarda xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun (buni bilish muhim) unutmang. Tekislikda yoki vektorlar fazosida joylashgan skalyar mahsulot formulasi shaklga ega (qadam uchun rasmga qarang).
Agar vektorlar kosmosda joylashgan bo'lsa, hisobni xuddi shunday tarzda bajaring. Yagona narsa dividendda atamaning ko'rinishi bo'ladi - bu ariza beruvchi uchun atama, ya'ni. vektorning uchinchi komponenti. Shunga ko'ra, vektorlar modulini hisoblashda z komponentini ham hisobga olish kerak, keyin fazoda joylashgan vektorlar uchun oxirgi ifoda quyidagicha o'zgartiriladi (qadamning 6-rasmiga qarang).
Vektor - berilgan yo'nalishga ega bo'lgan chiziq segmenti. Vektorlar orasidagi burchakka ega jismoniy ma'no, masalan, vektorning o'qga proyeksiyasining uzunligini topishda.
Nuqta mahsulotini hisoblash yordamida nolga teng bo'lmagan ikkita vektor orasidagi burchak. Ta'rifga ko'ra, mahsulot uzunliklarning mahsulotiga va ular orasidagi burchakka tengdir. Boshqa tomondan, koordinatali (x1; y1) va b koordinatali (x2; y2) ikkita vektorning ichki mahsuloti hisoblanadi: ab = x1x2 + y1y2. Ushbu ikkita usuldan nuqta mahsuloti vektorlar orasidagi burchakka oson.
Vektorlarning uzunliklari yoki modullarini toping. a va b vektorlarimiz uchun: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.
Vektorlarning ichki mahsulotini ularning koordinatalarini juftlarga ko'paytirish orqali toping: ab = x1x2 + y1y2. Nuqta hosilasining ta'rifidan ab = |a|*|b|*cos a, bu erda a - vektorlar orasidagi burchak. Keyin biz x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos a ni olamiz. U holda cos a = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.
Bradys jadvallari yordamida a burchakni toping.
Tegishli videolar
Eslatma
Skayar ko'paytma vektorlar uzunligi va ular orasidagi burchakning skalyar xarakteristikasidir.
Tekislik geometriyadagi asosiy tushunchalardan biridir. Tekislik - bu bayonot to'g'ri bo'lgan sirt - uning ikkita nuqtasini bog'laydigan har qanday to'g'ri chiziq butunlay shu sirtga tegishli. Samolyotlar belgilangan Yunon harflari a, b, g va boshqalar. Ikki tekislik har doim ikkala tekislikka tegishli to'g'ri chiziqda kesishadi.

ning kesishmasida hosil bo'lgan a va b yarim tekisliklarni ko'rib chiqaylik. a to'g'ri chiziq va ikki yarim tekislik a va b dihedral burchak bilan hosil qilingan burchak. Bunda yuzlar bo'yicha ikki burchakli burchak hosil qiluvchi yarim tekisliklar, tekisliklar kesishgan a chizig'i chekka deyiladi. ikki burchakli burchak.

Dihedral burchak, tekis burchak kabi, darajalarda. Ikki burchakli burchak yasash uchun uning yuziga ixtiyoriy O nuqtani tanlash kerak.Ikkalasida ham O nuqta orqali ikkita a nur o'tkaziladi. Olingan burchak AOB dihedral burchakning chiziqli burchagi a deyiladi.
Demak, vektor V = (a, b, c) va tekislik A x + B y + C z = 0 berilsin, bu erda A, B va C normal N ning koordinatalari. Keyin burchakning kosinuslari. V va N vektorlari orasidagi a: cos a \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Burchakni daraja yoki radianda hisoblash uchun natijada olingan ifodadan kosinusga teskari funktsiyani hisoblashingiz kerak, ya'ni. arkkosin: a \u003d arskos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Misol: toping in'ektsiya orasida vektor(5, -3, 8) va samolyot, umumiy tenglama bilan berilgan 2 x - 5 y + 3 z = 0. Yechish: N = (2, -5, 3) tekislikning normal vektorining koordinatalarini yozing. Hamma narsani almashtiring ma'lum qiymatlar yuqoridagi formulada: cos a = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → a = 36,87°.
Tegishli videolar
Tenglama yozing va undan kosinusni ajratib oling. Bir formulaga ko'ra, vektorlarning skalyar ko'paytmasi ularning uzunliklarini bir-biriga va kosinusga ko'paytirishga teng. burchak, va boshqa tomondan - har bir o'q bo'ylab koordinatalar mahsuloti yig'indisi. Ikkala formulani tenglashtirib, kosinus degan xulosaga kelishimiz mumkin burchak koordinatalar ko'paytmalari yig'indisining vektorlar uzunliklari ko'paytmasiga nisbatiga teng bo'lishi kerak.
Olingan tenglamani yozing. Buning uchun ikkala vektorni belgilashimiz kerak. Aytaylik, ular 3D Dekart tizimida berilgan va ularning boshlang'ich nuqtalari to'rda. Birinchi vektorning yo'nalishi va kattaligi nuqta (X₁,Y₁,Z₁), ikkinchisi - (X₂,Y₂,Z₂) bilan, burchak esa g harfi bilan belgilanadi. Keyin har bir vektorning uzunligi, masalan, Pifagor teoremasiga ko'ra, ularning har bir koordinata o'qiga proyeksiyalari orqali hosil bo'lishi mumkin: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) va √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Ushbu iboralarni oldingi bosqichda tuzilgan formulaga almashtiring va tenglikni oling: cos(g) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).
Kvadratning yig'indisi ekanligidan foydalaning sinus va boshqalar sinus dan burchak bitta qiymat har doim bitta qiymatni beradi. Demak, co uchun oldingi bosqichda olingan narsalarni ko'tarish orqali sinus kvadrat va birlikdan ayiriladi, keyin esa
Geometriyani o'rganishda vektorlar mavzusida ko'plab savollar tug'iladi. Talaba vektorlar orasidagi burchaklarni topish zarur bo'lganda alohida qiyinchiliklarga duch keladi.
Vektorlar orasidagi burchaklarni ko'rib chiqishdan oldin vektorning ta'rifi va vektorlar orasidagi burchak tushunchasi bilan tanishish kerak.
Vektor - yo'nalishi bo'lgan segment, ya'ni uning boshlanishi va oxiri aniqlangan segment.
Bir tekislikdagi ikkita vektor orasidagi burchak umumiy nuqta atrofida vektorlardan birini ularning yo'nalishlari mos keladigan joyga ko'chirishni talab qiladigan burchaklarning kichikroq qismidir.
Yechim formulasi
Vektor nima ekanligini va uning burchagi qanday aniqlanishini tushunganingizdan so'ng, vektorlar orasidagi burchakni hisoblashingiz mumkin. Buning uchun yechim formulasi juda oddiy va uni qo'llash natijasi burchak kosinusining qiymati bo'ladi. Ta'rifga ko'ra, u vektorlarning skalyar ko'paytmasi va ularning uzunliklari ko'paytmasining qismiga teng.
Vektorlarning skalyar ko'paytmasi ko'paytiruvchi vektorlarning tegishli koordinatalarining bir-biriga ko'paytirilgan yig'indisi sifatida qabul qilinadi. Vektorning uzunligi yoki uning moduli uning koordinatalari kvadratlari yig'indisining kvadrat ildizi sifatida hisoblanadi.
Burchakning kosinus qiymatini olgandan so'ng, siz burchakning o'zi qiymatini kalkulyator yordamida yoki yordamida hisoblashingiz mumkin. trigonometrik jadval.
Misol
Vektorlar orasidagi burchakni qanday hisoblashni aniqlaganingizdan so'ng, tegishli muammoni hal qilish oddiy va tushunarli bo'ladi. Misol tariqasida burchak kattaligini topishning oddiy masalasini ko'rib chiqing.

Avvalo, echish uchun zarur bo'lgan vektorlar uzunligi va ularning skalyar mahsulotini hisoblash qulayroq bo'ladi. Yuqoridagi tavsifdan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Olingan qiymatlarni formulaga almashtirib, kerakli burchakning kosinus qiymatini hisoblaymiz:

Bu raqam beshta umumiy kosinus qiymatlaridan biri emas, shuning uchun burchak qiymatini olish uchun siz kalkulyator yoki Bradis trigonometrik jadvalidan foydalanishingiz kerak bo'ladi. Ammo vektorlar orasidagi burchakni olishdan oldin, ortiqcha salbiy belgidan xalos bo'lish uchun formulani soddalashtirish mumkin:

Yakuniy javob aniqlikni saqlab qolish uchun ushbu shaklda qoldirilishi mumkin yoki burchakning qiymatini darajalarda hisoblashingiz mumkin. Bradis jadvaliga ko'ra, uning qiymati taxminan 116 daraja va 70 daqiqa bo'ladi va kalkulyator 116,57 daraja qiymatini ko'rsatadi.
n o'lchovli fazoda burchakni hisoblash
Uch o'lchovli fazoda ikkita vektorni ko'rib chiqayotganda, agar ular bir tekislikda yotmasa, qaysi burchak haqida gapirayotganimizni tushunish ancha qiyin. Idrokni soddalashtirish uchun siz ular orasidagi eng kichik burchakni tashkil etuvchi ikkita kesishgan segmentni chizishingiz mumkin va u kerakli bo'ladi. Vektorda uchinchi koordinata mavjudligiga qaramay, vektorlar orasidagi burchaklarni hisoblash jarayoni o'zgarmaydi. Vektorlarning skalyar ko'paytmasi va modullarini, ularning bo'linmasining arkkosinini hisoblang va bu masalaga javob bo'ladi.
Geometriyada muammolar ko'pincha uch o'lchamdan ortiq bo'lgan bo'shliqlar bilan yuzaga keladi. Ammo ular uchun javobni topish algoritmi o'xshash ko'rinadi.
Vektorlar orasidagi burchakni hisoblash uchun mo'ljallangan masalaga javob yozishda keng tarqalgan xatolardan biri bu vektorlar parallel ekanligini yozish qarori, ya'ni kerakli burchak 0 yoki 180 daraja bo'lib chiqdi. Bu javob noto'g'ri.
Yechim natijasida 0 graduslik burchak qiymatini olgan holda, to'g'ri javob vektorlarni ko'proq yo'nalishli deb belgilash bo'ladi, ya'ni vektorlar bir xil yo'nalishga ega bo'ladi. 180 gradusni olishda vektorlar qarama-qarshi yo'nalishda bo'ladi.
Maxsus vektorlar
Vektorlar orasidagi burchaklarni topib, yuqorida tavsiflangan birgalikda yo'naltirilgan va qarama-qarshi yo'naltirilganlardan tashqari, maxsus turlardan birini topish mumkin.

• 
  Bir tekislikka parallel bo'lgan bir nechta vektorlar koplanar deyiladi.
  
• 
  Uzunligi va yo'nalishi bir xil bo'lgan vektorlar teng deyiladi.
  
• 
  Yo‘nalishidan qat’iy nazar bir to‘g‘ri chiziqda yotuvchi vektorlar kollinear deyiladi.
  
• 
  Agar vektorning uzunligi nolga teng bo'lsa, ya'ni uning boshi va oxiri bir-biriga to'g'ri kelsa, u nol, bitta bo'lsa, bitta deyiladi.
  

Ikki vektor orasidagi burchak, :
Ikki vektor orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti musbat; agar vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasi manfiy boʻladi. Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi, agar bu vektorlar ortogonal bo'lsa, nolga teng.