Ikkinchi tartibli elliptik tipdagi tenglamalar umumiy nazariyasidan ayrim ma’lumotlar Reja

Yechish:
va . Issiqlikning tarqalishi

integral bilan aniqlanadi. nuqta yuqori yarim aylanada joylashgan bo’lsin, ya`ni
.
U holda dan gacha o’zgaradi va bu uzunligi ga teng interval nuqtalarni o’z ichiga olmaydi. Shuning uchun

almashtirish bajaraylik.
U holda

yoki

ifodaning o’ng qismi manfiy, demak, da tengsizlikni qanoatlantiradi. Bu hol uchun yechim:

yoki

ga teng.
Agar nuqta quyi yarim aylanada joylashgan bo’lsa:

1. 
   , u hoda intervalda o’zgaradi. Bu interval nuqtani esa bu intervalda yotmaydi. Shuning uchun bu yerda
   

U holda ning bu qiymatlari uchun:

yuqoridagidek almashtirish bajarib, yuqoridagini topamiz. Bu yerda o’ng tomon musbat bo’lganligi uchun dan

II.Elliptik tipdagi tenglama uchun qo’yilgan Dirixle masalasini yechishning to’r usuli.
Birinchi chegaraviy masala yoki Puasson tenglamasi:

uchun Dirixle masalasi quyidagicha qo‘yiladi G sohaning ichki nuqtalarida (1) tenglamani va G- chegarasida esa

shartni qanoatlantiruvchi funksiya topilsin. Mos ravishda va o‘qlarida va qadamlarni tanlab:


to‘g‘ri chiziqlar yordamida to‘r quramiz va sohaning ichki tugunlaridagi

hosilarni va (1) tenglamani esa quyidagi chekli ayirmalar tenglamalari bilan almashtiramiz:

bu yerda (2)
tenglama sohaning chegaraviy nuqtalaridagi qiymatlari bilan birgalikda tugunlaridagi funksiya qiymatlariga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini hosil qiladi. Bu sistema to‘g‘riburchakli sohada va bo‘lganda eng sodda ko‘rinishga keladi. Bu holda (3) tenglama quyidagicha yoziladi:

chegaraviy tugunlardagi qiymatlar esa chegaraviy funksiya qiymatlariga teng bo‘ladi. Agar (1) tenglamada bo‘lsa

Laplas tenglamasi hosil bo‘ladi. Bu tenglamaning chekli ayirmalar tenglamasi quyidagicha:

Bu (3) va (4) tenglamalarni 1-rasmdagi tugunlar sistemasidan foydalaniladi. Bundan buyon rasmlarda tugunlarni ularning indekslari bilan

1.