Ikromova xurshida ilxomiddin qizi

6.  Modul  belgisi  ostida  yana  modul  belgisini  o‘zida  saqlovchi  

tenglamalarni yechish. 

Modul belgisi ostida yana modul belgisini o‘zida saqlovchi ifoda qatnashgan 

tenglamalarni  yechish  uchun  dastlab  ichki  modullardan  qutilib,  so‘ngra,  hosil 

qilingan tenglamalarda qolgan modullarni ochish kerak bo‘ladi.  

8-misol.              

.

4

2

4









x

x

x

 tenglamani yeching.

 

Yechish: Ta’rifdan foydalanib, dastlab «ichki» modulni ochamiz va berilgan 

tenglamaga teng kuchli bo‘lgan sistemalar birlashmasini hosil qilamiz.  

 

 



















,

4

2

)

4

(

,

0

4

x

x

x

x

                 



















,

4

2

)

4

(

,

0

4

x

x

x

x

 

ya’ni                     















,

4

2

4

2

,

4

x

x

x

                        













.

0

2

,

4

x

x

 

Birlashmaning ikkinchi sistemasi yechimga ega emas.  

Birlashmaning birinchi sistemasini yechamiz. Buning uchun modul belgisini 

ochamiz va sistemaga teng kuchli bo‘lgan quyidagi sistemalar birlashmasini hosil 

qilamiz.  























,

4

2

)

4

2

(

,

0

4

2

,

4

x

x

x

x

          ,           

























,

4

2

)

4

2

(

,

0

4

2

,

4

x

x

x

x

 

ya’ni,                    



















,

4

4

,

2

,

4

x

x

                                   



















,

0

4

,

2

,

4

x

x

x

 

Bu sistemaning yagona yechimi 0 soni bo‘ladi.  

 Demak, berilgan tenglama yagona  x=0 yechimga ega bo‘ladi.  

Javob: x=0 

9 —misol. |x-|3-2x|| = 4-2x  tenglamani yechish. 

Yechish.  Berilgan  tenglama  quyidagi  ikkita  sistemalar  birlashmasiga  teng  kuchli 

bo‘ladi.  

              



















x

x

x

x

2

4

)

2

3

(

0

2

3

  ,                             



















x

x

x

x

2

4

)

2

3

(

0

2

3

 

                

















x

x

x

2

4

3

3

2

3

   ,                                      



















x

x

x

2

4

3

2

3

 

Birlashmaning    birinchi  sistemasi  quyidagi  ikkita  sistemalar  birlashmasiga  teng 

kuchli bo‘ladi.  

                   



























x

x

x

x

2

4

3

3

0

3

3

2

3

   ,           





























x

x

x

x

2

4

)

3

3

(

0

3

3

2

3

 

                   





















5

7

1

2

3

x

x

x

   ,                      























1

1

2

3

x

x

x

 

Bu  sistemaning  birinchisidan 

5

7



x

     yechimni,  ikkinchisidan  esa 

1





x

 yechimni 

topamiz. 

Birlashmaning  ikkinchi sistemasini  yechamiz. 































x

x

x

x

2

4

3

0

3

2

3

  ,    





























x

x

x

x

2

4

3

0

3

2

3

 

                     





















1

3

2

3

x

x

x

        ,           





















3

7

3

2

3

x

x

x

 

Bu ikkala sistema xam yechimga ega emas. 

Demak, berilgan  tenglama     

1

;

5

7

2

1







x

x

    yechimlarga ega bo‘ldi. 

Javob:  

1

;

5

7

2

1







x

x

 

10-misol. |x–|2x+3||=3x–1 tenglamani yeching. 

Yechish:  Tenglamaning  chap  qismiga  ichki  modulga    ta’rifni  ko‘llaymiz 

natijada  berilgan  tenglama  quyidagi  2  ta  sistemalar  birlashmasiga  teng  kuchli 

bo‘ladi.    

               



















1

3

|

)

3

2

(

|

0

3

2

x

x

x

x

,

                   



















1

x

3

|

)

3

x

2

(

x

|

0

3

x

2

         

yoki          





















1

x

3

|

3

x

|

2

3

x

 ,                        



















1

x

3

|

3

x

3

|

2

3

x

 

Xar  bir  sistema  uchun  yana  modul    ta’rifini  qo‘llaymiz.  Birlashmaning 

birinchi sistemasi quyidagi ikkita sistemalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi. 

































,

1

3

3

0

3

2

3

x

x

x

x

                               



































,

1

3

)

3

(

0

3

2

3

x

x

x

x

 

                         



























5

,

0

3

2

3

x

x

x

                                            















,

2

2

3

x

x

 

Birinchi sistema yechimga ega emas, ikkinchisi esa 

2



x

 yechimga ega bo‘ladi.  

Ikkinchi  sistemani  yechamiz. 

2

3





x

 shartda  tenglamaning  o‘ng  qismidagi 

1

3



x

 

ifoda manfiy bo‘ladi. Demak,  bu sistemaning tenglamasi ildizga ega emas. 

Demak,  berilgan tenglama 

2



x

 yechimga ega bo‘ladi. 

                                                                                                     Javob: 

2



x

. 

 

II. Tenglamaning ikkala kismini kvadratga ko‘tarish usuli bilan yechish 

Bu usulni qo‘llash l.( (x)|)

2

 = 

( x ) )

2

   (4) ekanligiga asoslangandir. 

Bu  tenglikdan  foydalanib,   yuqorida  ko‘rib  o‘tilgan   |2x-5| = |5-3x| 

tenglamani quyidagicha yechish mumkin. 

          Uning  ikkala  qismi   nomanfiy  bo‘lgani uchun  kvadratga ko‘tarib, berilgan 

tenglamaga  teng  kuchli  bo‘lgan  (2x  -  5)

2

  =  (5  -  3x)

2

    tenglamani  hosil  qilamiz: 

Bundan 

2

2

9

30

25

25

20

4

x

x

x

x











 bo‘lib, uni quyidagicha yozib olamiz.  

5x

2

-10x = 0 

 

Bu   tenglama ikkita x

1

 = 0;  x

2

 = 2  ildizlarga ega bo‘ladi. 

Javob: x

1

 = 0;  x

2

 = 2 . 

2.  ( x ) |   =   g ( x )   (5) ko‘rinishdagi tenglamalar tenglikning ikkala qismi 

bir xil ishorali bo‘ladigan sohalarga ajratilib yechiladi. Bu ko‘rinishdagi tenglama: 

a) 

0

)

(



x

g

bo‘lganda  yechimga  ega  bo‘lmaydi,  chunki  (5)  tenglikning  chai  qismi 

manfiy emas, o‘ng qismi esa manfiy bo‘lishi mumkin emas. 

b)  g ( x )

  0  bo‘lganda    tenglikning  ikkala  qismi  nomanfiy  bo‘ladi  va  uni 

ikkala kismini kvadratga ko‘tarib yechish mumkin, 

Yuqorida ko‘rib o‘tilgan |3x - 5| = 11 - 2x tenglamani quyidagi usulda xam 

yechish mumkin. 

a)  11 - x < 0 bo‘lganda, ya’ni x > 11 da berilgan tenglama yechimga ega 

emas. 

b)  11 - x 



 0  bo‘lganda, ya’ni x 

 11  da berilgan tenglamaning ikkala 

qismi nomanfiy va u quyidagi (3x-2)

2

 =(ll-x)

2

  tenglamaga teng kuchli 

bo‘ladi, 

 

Bundan  

2

2

22

412

12

9

x

x

x

x









. 

8x

2

+ 10x-117 =0 tenglamani hosil qilamiz. 

 

Uning  yechimlarii    

2

9

1





x

  va 

4

13

2



x

  bo‘lib, 

11



x

 shartni 

qanoatlantirgani uchun, berilgan tenglamaning ham ildizlari bo‘ladi. 

Javob:   

4

13

;

2

9

2

1







x

x

 

11-misol. |2x–5|=x–1 tenglamani yeching. 

Yechish: 

0

1





x

 bo‘lganda tenglama yechimga ega emas. 

 

0

1





x

bo‘lganda  tenglamaning  ikkala    qismi  nomanfiy  bo‘lgani  uchun  u 

quyidagi sistemaga teng kuchli bo‘ladi. 

Ularni yechib    



















1

1

2

25

20

4

2

2

x

x

x

x

x

           















1

0

8

6

2

x

x

x

 

Sistema  tenglamasi   

2

1



x

 va 

4

2



x

 ildizlarga  ega  bo‘ladi.  Bu  ildizlarning 

ikkalasi 

1



x

 shartni  qanoatlantirilishi  uchun 

2

1



x

 va 

4

2



x

 lar  berilgan 

tenglamaning ildizlari bo‘ladi. 

                                                                           Javob: 

2

1



x

;  

4

2



x

. 

12-misol. |x

2

–4|=x

2

–4 tenglamani yeching. 

Yechish: 

0

4

2





x

 bo‘lganda, tenglama yechimga ega emas. 

 

0

4

2





x

 bo‘lganda  tenglamaning  ikkala  qismi  nomanfiy  bo‘lgani  uchun  u 

quyidagi sistemaga teng kuchli bo‘ladi. 

 

















,

0

4

4

4

2

2

2

x

x

x

               

Uni yechib, 

4

2



x

, 

2



x

 ildizlarini to‘pamiz: 

2





x

 va 

2



x

 bo‘ladi. 

                                                                              Javob: 

2











x

, 







x

2

. 

III. Oraliklarga bo‘lish usulidan foydalanish,  

Agar 

)

(

),

(

),....

(

),

(

),

(

4

3

2

1

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f

 lar 

ixtiyoriy  funksiyalar  bo‘lib, 

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

4

3

2

1

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f









 (6)  ko‘rinishdagi  tenglama  yechish  talab 

etilayotgan bo‘lib, uni modul belgilarini ketma-ket ochish usuli bilan yechadigan 

bo‘lsak,  birinchi  modulni  ochish  natijasida  ikkita  sistemadan  iborat  bo‘lgan 

birlashma,    ikkinchi  modulni  ochish  natijasida  to‘rtta  sistemani  saqlovchi 

birlashma  va  xakazo  hosil  bo‘ladi.  Shuning  uchun  bunday  usulda  yechish  juda 

murakkablashib  ketadi.  Bunday  tenglamalarni  intervallar  usulini  qo‘llab  yechish 

soddaroqdir.  Buning  uchun 

)

(

),

(

),....

(

),

(

),

(

4

3

2

1

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f

 funksiyalardan  birortasi 

ishorasini  almashtiruvchi  barcha  nuqtalar  topiladi.  Bu  nuqtalar  (6)  tenglamaning 

aniqlanish  sohasini  shunday  oraliqlarda  bo‘ladiki,  ularning  har  birida 

)

(

),

(

),....

(

),

(

),

(

4

3

2

1

x

g

x

f

x

f

x

f

x

f

 funksiyalar  ishorasini  saqlaydi.  So‘ngra  modul  

ta’rifidan  foydalanib,  (6)  tenglamadan  modul  belgisini  o‘zida  saqlamaydigan 

sistemalar birlashmasiga o‘tiladi.  

13-misol.    

.

6

2

3

8

3









x

x

 tenglamani yeching. 

Yechish.  Intervallar  metodidan  foydalanib,   

8

3



x

   va   

8

3



x

 ifodalarning 

ishorasi saqlanadigan  oraliqlarni aniqlaymiz:  

3

2



x

,       

3

8

3

2





x

,       

3

8



x

 demak,  berilgan  tenglama  quyidagi  uchta 

sistemalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi.  



















,

6

)

2

3

(

)

8

3

(

,

3

/

2

x

x

x

        























,

6

)

2

3

(

)

8

3

(

3

8

3

2

x

x

x

       

















,

6

)

2

3

(

)

8

3

(

,

3

/

8

x

x

x

 

ya’ni 











,

6

6

3

/

2

x

                              

















,

4

6

,

3

/

8

3

/

2

x

x

                     













.

6

6

,

3

/

8

x

 

Birinchi sistemaning yechimlari 



3

2

;

(



 oraliqdagi barcha sonlar bo‘ladi. 

Ikkinchi va uchinchi sistemalar yechimga ega emas.  Javob:  

3

2









x

 

14-misol.  

.

4

2

2

7











x

x

x

 tenglamani yeching.

 

Yechish.  Intervallar metodidan foydalanib 

x

x



7

,

  va  

2



x

 ifodalarning 

ishorasi saqlanadigan oraliqlarini aniqlaymiz: 

7

,

7

2

,

2

0

,

0













x

x

x

x

. Demak 

berilgan tenglama quyidagi to‘rtta sistemalar birlashmasiga teng kuchli bo‘ladi.  

                                















































































.

4

)

2

(

2

)

7

(

)

(

,

7

,

4

)

2

(

2

)

7

(

)

(

,

7

2

,

4

)

2

(

2

)

7

(

)

(

,

2

0

,

4

)

2

(

2

)

7

(

)

(

,

0

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

           

Birlashmaning birinchi sistemasi  

                            











4

/

7

,

0

x

x

    sistemaga teng kuchli bo‘lib, yechimga ega emas. 

 

Birlashmaning ikkinchi sistemasi  

                          













2

/

7

,

2

0

x

x

 sistemaga teng kuchli bo‘lib, yechimga ega emas.

 

Birlashmaning uchinchi sistemasi 

                           













2

/

1

,

7

2

x

x

 sistemaga teng kuchli bo‘lib, yechimga ega emas.

 

Birlashmaning to‘rtinchi sistemasi  

                           











4

/

15

,

7

x

x

 sistemaga teng kuchli bo‘lib, yechimga ega emas.

 

Javob: yechimga ega emas.  

15 -misol: |2x-l| + |3x + 2| = 4  tenglamani yeching. 

Yechish.   Oraliklarga   bo‘lish  usulidan   foydalanish  uchun   son  o‘qiga 

2x -1 = 0  bo‘ladigan  x  ning qiymatini, hamda 3x + 2 = 0  bo‘ladigan  x  ning 

qiymatini qo‘yamiz. Natijada son o‘ki uchta oraliqga 









































;

2

1

,

2

1

;

3

2

,

3

2

;

                

bo‘linadi.  Tenglamani  bu  oraliqlarining  har  birida yechamiz.  

3

2











x

 da 

(2x-l) = -(2x-l);(3x + 2) = -(3x + 2) 

ekanligidan 

-(2x-1)-(3x + 2) = 4; bundan x = -1    bo‘lib, u qaralayotgan oraliqga tegishli 

bo‘lgani uchun, berilgan tenglamaning yechimi bo‘ladi.  

2

1

3

2







x

          da       (2x -1) = -(2x -1);       (3x + 2) = 3x + 2       ekanligidan 

-(2x-l)  +  3x  +  2  =  4 ;   bundan  x  =  1  bo‘lib,  u  qaralayotgan  oralikga  tegishli 

bo‘lmagani uchun berilgan tenglamaning xam yechimi bo‘lmaydi. 









x

2

1

        da        (2x-l)=2x-l;        (3x + 2) = 3x + 2        ekanligidan 

2x-1 + 3x + 2 =  4 ;  bundan 

5

3



x

bo‘lib, u qaralayotgan oraliqga tegishli bo‘lgani 

uchun berilgan tenglamanining yechimi bo‘ladi. 

                          Javob:  

,

1

1



x

  

5

3

2



x

 

15— misol. |x -1| - |x - 3| = x - 5  tenglamani yeching. 

Yechish. Bu tenglamani yuqorida ko‘rib o‘tilgan oraliklarga bo‘lish metodi 

bilan xam yechish mumkin. Lekin berilgan tenglama yechimga ega bo‘lish uchun x 

- 5 > 0 shart bajarilishi kerak, bu xolda x -1 > 0 va x - 3 > 0  bo‘ladi. Demak 

berilgan tenglama (x-l)-(x-3) = x - 5 tenglamaga teng kuchli bo‘lib x=7 ildizga 

egadir. Bu ildiz x > 5 shartni qanoatlantiradi va demak berilgan tenglamaning ildizi 

bo‘ladi.                                                                                                    Javob: x = 7 

.