Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

Differensial tenglamaning yechimi.
Umumiy ko’rinishga ega bo’lgan
F(x, y, y’, y’’, …, y⁽ⁿ⁾)=0 (1)
Differensial tenglamani qaraylik.
Faraz qilaylik, (x) funksiya biror oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo’lib, shu oraliqda ’(x), ’’(x), … , ⁽ⁿ⁾(x), hosilalarga ega bo’lsin.
Agar (1) tenglamadagi y ning o’rniga (x), y’ ning o’rniga ’(x) , y’’ ning o’rniga ’’(x) va h.k. y⁽ⁿ⁾ ning o’rniga ⁽ⁿ⁾(x) qo’yilganda (1) tenglama ayniyatga aylansa:
F(x, (x), ’(x), ’’(x), … , ⁽ⁿ⁾(x))=0
(x) funksiya (1) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
Masalan, y=x² funksiya ushbu
xy’-2y=0 (2)
birinchi tartibli differensial tenglamaning yechimi bo’ladi. Haqiqatdn ham ,
y=x², y’=2x
larni (2) tenglamadagi y va y’ lar o’rniga qo’ysak, u holda
x 2x-2x²=0
bo’ladi. Ayni paytda
y=Cx²( C- o’zgarmas) (3)
funksiya ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi.
Chunki,
y= Cx², y’=2Cx
larda (2) tenglama ayniyatga aylanadi:
x 2Cx-2Cx²=0.
Differensial tenglamaning (3) ko’rinishdagi yechim umumiy yechim deyiladi. Bu umumiy yechimda ixtiyoriy o’zgarmas C ning biror tayin C₀ qiymatidagi C₀x² yechim (2) tenglamaning xususiy yechimi deyiladi. Demak, differensial tenglamaning umumiy yechimdagi ixtiyoriy o’zgarmas C ning turli qiymatlarida differensial tenglamaning xususiy yechimlari ( ular cheksiz ko’p bo’ladi) hosil bo’lib, umumiy yechim bu xususiy yechimlarning barchasini o’zida mujassamlashtiradi. Boshqacha qilib aytganda umumiy yechimdan (ixtiyoriy o’zgarmas C ning hech bir qiymatidan) kelib chiqmaydi. Masalan,
y’²=4y (y=y(x)) (4)
differensial tenglamaning umumiy yechimi
y=(x+C)²
bo’ladi. Chunki,
y = (x + C)² , y’ = 2(x + C)
lar berilgan tenglamani ayniyatga aylantiradi:
[2(x + C)]² ≡ 4(x + C)² .
Ayni paytda y = (x)= 0 funksiya (4) differensial tenglamaning yechimi bo’lib ( bu ravshan), u umumiy yechimdan (C ning hech bir qiymatida) bu yechim kelib chiqmaydi. Odatda bunday yechim qaralayotgan differensial tenglamaning maxsus yechimi deyiladi. Differensial tenglamaning umumiy yechimidan xususiy yechim argumenti x biror x₀ qiymatni qabul qilganda y(x) funksiya berilgan y₀ qiymatni qabul qilsin degan shart asosida hosil qilinadi. Bunda x₀, y₀ boshlang’ich qiymatlar deyiladi, keltirilgan shart boshlang’ich shart deyilib,
x = x₀, bo’lganda y = y₀
yoki
y_x=x = y₀
kabi yoziladi.
Umumiy yechimdagi C o’zgarmas shu shart asosida topiladi. Masalan, yuqorida keltirilgan
xy’− 2y = 0
differensial tenglamaning umumiy yechimi
y = Cx²
ga ko’ra ushbu
y_x=2 = 8
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi quyidagicha topiladi: x = 2, y = 8 larni umumiy yechimdagi x va y larning o’rniga qo’yib,
8 = C · 4
bo’lishni, undan esa C = 2 ekanini aniqlaymiz. C ning bu qiymatini umumiy yechimdagi C ning o’rniga qo’yib, izlanayotgan xususiy yechim
y = 2x²
bo’lishini topamiz.
Differensial tenglamaning boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish differensial tenglamalar nazariyasining muhim masalalaridan biri hisoblanadi. Odatda bu masala Koshi masalasi deyiladi.