Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

3-Misol. Chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
y²+Cx=x³ (1)
Yechish. Tenglamani ikkila tarafidan 1- tartibli hosila olamiz:
2yy’+C=3x²

Tenglamadan parameter bo’lgan C ni topib olamiz:

C=3x²-2yy’
Topilgan parametrni (1) tenglamaga olib borib qo’yamiz:
y²+(3x²-2yy’)x=x³
bu tenglamadan y ni topib chiziqlar oilasining differensial tenglamasini hosil qilamiz.
y²+3x³-2xyy’=x³
y=
bu tenglama (1) chiziqlar oilasining differensial tenglamasi hisoblanadi.
4-Misol. Chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
y²+C=x³ (1)
Yechish. Chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish uchun o’zgarmas son (C=const.) ni yo’qotishimiz kerak. Buning uchun tenglamaning ikkala tarafidan 1-tartibli hosila olamiz:
2yy’+C=3x² (2)
(2) tenglamadan C ni topib (1) tenglamaga olib borib qo’yamiz:
C=3x²-2yy’
Va (1) tenglamadagi C ni o’rniga olib borib qo’yamiz:
y²+3x²-2yy’=x³
y’=
2-§. Differensial tenglamalarning geometrik masalalarga tadbiqi
Biz Oddiy differensial tenglamalar fanida differensial tenglamalarning geometrik masalalarga tadbiqi mavzusini o’rgandik. Bu mavzuni o’rganish davomida geometrik masalalarni yechishda differensial tenglamalarning ahamiyati kata ekanligini bilib oldik. Quyida shu mavzularni o’rganish davomida ishlangan misol va masalalarni va ularning yechilishini ko’rib chiqamiz:
1-Misol. Urinma osti urinish nuqtasining absissasi va ordinatasining yig’indisiga teng bo’lgan egri chiziqlarni toping.
Yechilishi. Masala shartidan ushbu differensial tenglamani tuzamiz:
=x+y
Yoki differensiallarda yozilsa,
ydx=(x+y)dy.
Bu tenglamada y=xz almashtirish emas, balki x=yz almashtirish bajarish qulaydir. U holda
dx=ydz+zdy
va tenglama
y(ydz+zdy)=y(z+1)dy; ydz=dy; dz=
ko’rinishga keladi. Bu yerdan z=lny+lnC; y=Ce^z.
Umumiy yechim y=Ce egri chiziqlar oilasidan iborat bo'ladi.
M(x;y) nuqtada kesishuvchi ikkita egri chiziq orasidagi burchak deb, ma’lumki egri chiziqlarga bu nuqtada o’tkazilgan urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Agar F(x, y, a)=0 (1) oilasining 1 egri chizig’iga M nuqtada o’tkazilgan urinmaning Ox o’qi bilan tashkil qilgan burchagini orqali, shu oilaning 2 egri chizig’iga ana shu nuqtada o’tkazilgan urinmaning Ox o’q bilan tashkil etgan burchagini orqali belgilasak, u holda bo’ladi va bu yerdan

tg kattalik berilgan, uni k orqali belgilaymiz; tg =y’=f(x, y), shuning uchun

izogonal traektoriyaning istalgan nuqtasining koordinatalari bilan bu nuqtadagi urinmaning burchak koeffisiyenti orasidagi munosabatni, ya’ni traektoriyalar oilasining differensial tenglamasini hosil qildik. tg ni y’ deb belgilaymiz; u holda

Bu differensial tenglamaning umumiy integrali F(x, y, a)=0 egri chiziqlar oilasi uchun izogonal traektoriyalar oilasi bo’ladi; ular(1) egri chiziqlarni bir xil burchak ostida kesib o’tadi.
Agar traektoriyalar ortogonal bo’lsa, u holda
= ,
Shunday qilib, quyidagi qoidani hosil qilmiz: berilgan F(x, y, 0)=0 egri chiziqlar oilasi uchun izogonal traektoriyalar oilasining differensial tenglamasini toppish uchun bu oilaning y’=f(x,y) differensial tenglamasida y’ ni bilan almashtirish lozim, bu yerda k- egri chiziqlarning traektoriyalar bilan kesishish burchagining tangensi. Xususan, ortogonal traektoriyalar uchun y’ ni ga almashtirish kerak.