Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

Eslatma. Teoremada keltirilgan shart (1) tenglama yechimi mavjud bo’lishining yetarli shartini ifodalaydi. Binobarin, bu shart bajarilmaganda ham (1) tenglama yechimga ega bo’lishi mumkin. Yuqorida aytib o’tganimizdek, (1) tenglama yechimi f(x, y) funksiyaga (uning ko’rinishiga) bog’liq bo’ladi. Bu funksiyaning maxsus ko’rinishlarida yuzaga keladigan differensial tenglamalarni keltiramiz:

1. 
   Aytaylik,
   

f(x, y) = ϕ(x) · ψ(y)
bo’lsin, bunda ϕ(x) vaψ(y) uzluksiz funksiyalar. Bu holda (1) tenglama ushbu
= ϕ(x) · ψ(y) (2)
ko’rinishga keladi.
Uni o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama deyiladi.

2. 
   Aytaylik,
   

f(x, y) = q(x) − p(x) · y
bo’lsin, bunda p(x) va q(x)–funksiyalar uzluksiz. Bu holda (1) tenglama ushbu
y’ + p(x)y = q(x) (3)
ko’rinishga keladi. Uni chiziqli differensial tenglama deyiladi.

3. 
   Aytaylik
   

f(x, y) = q(x) · y^m − p(x)y
bo’lsin, bunda p(x), q(x)–uzluksiz funksiyalar; m o’zgarmas son.
Bu holda (1) tenglama ushbu
y’ + p(x)y = q(x)y^m(4)
ko’rinishga keladi. Uni Bernulli tenglamasi deyiladi.

4. 
   Aytaylik,
   

f(x, y) = -
bo’lsin. Bu holda (1) tenglama ushbu
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 (5)
ko’rinishga keladi. Keyingi tenglikning o’ng tomonidagi
P(x, y)dx + Q(x, y)dy
ifoda biror F(x, y) funksiyaning to’liq differensiali (dF(x, y) = P(x, y)dx+ Q(x, y)dy) bo’lishi mumkin. Bunday vaziyatda (5) (dF(x, y) = 0) tenglama to’liq differensial tenglama deyiladi.

5. 
   Aytaylik,f(x, y) funksiya ushbu
   

f(tx, ty) = f(x, y)
shartni qanoatlantirsin, bunda t–ixtiyoriy son (bunday holda f(x, y) nol o’lchovli bir jinsli funksiya deyiladi.) Bu holda (1) tenglama ushbu
= f(1, ) = ϕ( ) ko’rinishga keladi.Uni bir jinsli differensial tenglama deyiladi. Yuqorida keltirilgan (2), (3), (4), (5) va (6) differensial tenglamalar yechimga ega (ularning yechimga ega bo’lishi, f(x, y) funksiyaning ko’rinishi hamda mavjudlik teoremasining shartlarining bajarilishidan kelib chiqadi.