Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

2-Misol. x²+y²+2ay=0 ( a – ixtiyoriy parameter) aylanalar oilasining ortogonal traektoriyalarini toping.
Yechilishi. Aylanalar oilasining differensial tenglamasini tuzamiz, buning uchun berilgan tenglamaning ikkala qismini x bo’yicha differensiallaymiz va a ni bunday yo’l bilan topilgan tenglamadan va berilgan tenglamadan yo’qotamiz. Quyidagiga ega bo’lamiz:
2x+2yy’+2ay’=0
Bu yerga aylanalar oilasidan topilgan 2a=- ifodani qo’yamiz:
2x+2yy’-
yoki o’zgartirishlardan so’ng
y’=
ortogonal traektoriyalar oilasining differensial tenglamasini bu tenglamada y’ va -- ga almashtirish orqali xosil qilamiz:

Bu bir jinsli tenglama. Uning umumiy yechimini bir jinsli tenglamalarni integrallashning umumiy qoidasidan foydalanib toppish mumkin, biroq osonroq yo’li ham bor. Tenglamani differensiallarda qayta yozib olamiz:
2xydy-y²dx+x²dx=0
Bu tenglamaning ikkala tomonini x² ga bo’lamiz:

yoki

Bu to’liq differensiallardagi tenglamadir. Uni integrallab
yoki x²+y²-2Cx=0 ga
Ya’ni aylanalar oilasiga ega bo’lamiz. Ikkala oilaning barcha aylanalari koordinatalar boshidan o’tadi, biroq berilgan oila aylanalarining markazlari Oy o’qda, traektoriyalarning markazlari esa Ox o’qda joylashgan.
Quyida esa geometrik masalalarga differensial tenglamalar yordamida yechishga oid misollar ko’ramiz;
3-Misol. Shunday chiziqlarni topingki, ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinma, urinish nuqtasi ordinatasi va absissalar o’qi tashlik qilgan uchburchak yuzi o’zgarmas a² miqdorga teng bo’lsin.
Yechish. Yuqoridan ma’lumki o’tkazilgan urinmaning Ox o’q bilan tashkil etgan burchagini deb belgilasak, shu burchak tangensi k (burchak koeffisiyenti) ga teng. k=tg =y’ ekanligi kelib chiqadi.

y

y
1-rasm

b x

y’=tg S=y b=2a² y’=

b= y’=

y’= = => tenglamaning ikkala tarafini integrallab yuboramiz:

=> y= .
4-Misol. Shunday chiziqlarni topingki, ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinma, urinish nuqtasi ordinatasi va absissalar o’qi tashkil qilgan uchburchak katetlarining yig’indisi o’zgarmas b miqdorga teng bo’lsin.