Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

Izoklinalar. Chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish
Har bir nuqtasida yo’nalishlar maydoni bir xil bo’lgan chiziq izoklina deyiladi. Izoklina tushunchasini yana quyidagicha ifodalash mumkin:
Bir xil yo’nalishga ega bo’lgan integral egri chiziqqa o’tkazilgan urinmalar urinish nuqtalarining geometrik o’rni izoklina deyiladi.
y’=f(x,y) tenglamaning izoklinalar oilasi f(x,y)=k tenglama bilan aniqlanadi.
Quyida chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzishga oid misollar ko’rib chiqamiz:
1-Misol. Chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing.
y=sin(x+C) (1)
Yechish. Tenglamaning ikkala tarafidan 1-tartibli hosila olib yuboramiz:
y’=cos(x+C) va ikkala tenglamani kvadratga oshiramiz:
y²=sin²(x+C) va bu ikkala tenglamani qo’shib yuboramizva tenglamaning chap
y’² =cos²(x+C) tomonida asosiy trigonometrik ayniyatdan foydalanib natija 1 ekanligini hosil qilamiz.
y²+y’²=1 tenglama (1) chiziqlar oilasining differensial tenglamasi.
2-Misol. Chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzing
y=ax³+bx²+cx (2)
Yehish. (2) Tenglamaning chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzish uchun tenglamadagi koeffisiyentlar ( a,b,c) ni y ni hosilalari bilan bog’lab olishimiz kerak. Avvalo tenglamaning ikkala tomonidan 1-tartibli hosila olib yuboramiz:
y’=3ax²+2bx+c (3)
va shu tartibda 2- va 3- tartibli hosilalarini topib olamiz:
y’’=6ax+2b (4)
y’’’=6a => a= va buni (4)
tenglamaga qo’yib, b koeffisiyentni topib olamiz:
y’’=xy’’’+2b => b= (y’’-xy’’’) bu ifodani (3) tenglamaga qo’yib c koeffisiyentni hosil qilamiz:
y’= x²y’’’+xy’’-x²y’’’+c
c=y’+ x²y’’’-xy’’
biz topgan a,b, c koeffisiyentlarni (2) tenglamaga qo’yib, (2) tenglamaning chiziqlar oilasining differensial tenglamasini tuzamiz:
y= x²y’’’+ x²y’’- x³y’’’+xy’+ x³y’’’-x²y’’
va tenglamani soddalashtirib quydagi ifodani hosil qilamiz:
y= x²y’’’- x²y+xy’ (5)
(5) tenglama (3) tenglamaning chiziqlar oilasining differensial tenglamasi bo’ladi.