Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

Yechish. Masala shartiga ko’ra y+a=b => a=b-y y’=
=-y’ - y’=
Bu differensial tenglamani yechish uchun o’zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalarni yechish usulidan foydalanamiz.
f(x, y) = ϕ(x) · ψ(y)
bo’lsin, bunda ϕ(x) vaψ(y) uzluksiz funksiyalar. Bu holda (1) tenglama ushbu
= ϕ(x) · ψ(y) (2)
ko’rinishga keladi.



2-rasm.

x
a
- o’zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglama.
dx= tenglamani ikkala tomonini integrallab x+C=y-blny ni hosil qilamiz.
y=x+C+blny.

5-Misol. Shunday chiziqlarni topingki ixtiyoriy nuqtasidan o’tkazilgan urinma shu nuqtaning qutb radiusi va qutb o’qi bilan teng burchak hosil qilsin.

Yechish.
tg (1) tg 2 => va tenglikni ikkala tarafini tg lab yuboramiz:
tg (1) tenglikdan foydalanib tg almashtirish bajaramiz va quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
tg => ctg bundan o’zgaruvchilarga ajraladigan differensial tenglamani ishlaymiz: bu yerda ya’ni funksiya, esa erkli o’zgaruvchi. => tenglamani ikkala tomonini integrallab yuboramiz: ln => .
6-Misol. Egri chiziqning istalgan nuqtasidagi urinma osti va normal ostining yarim ayirmasi urinish nuqtasining absissasiga teng. Shu egri chiziqni toping.
Yechilishi. Masala shartiga muvofiq, ushbu differensial tenglamani tuzamiz:
-yy’=2x
ifodani shakl almashtirish yordamida quyidagi ifodaga keltiramiz:
y= x.
Bu Lagranj tenglamasidir. Uni integrallash uchun quyidagi ko’rinishda yozib olamiz:
x= yoki x=
va x ni y argumentning funksiyasi deb hisoblash qulaydir. x’=p deymiz. U holda
x= -
y bo’yicha differensiallasak
x’=
x’ ni p bilan almashtirib va o’zgarishlar bajargach,

ni hosil qilamiz, bu yerdan y=Cp. Umumiy integral parametrik shaklda
x= (1)
y=Cp (2)
ko’rinishga ega. p ni yo’qotamiz. Buning uchun (2) tenglamadan p= ni topamiz va (1) tenglamaga qo’yamiz va quyidagini hosil qilamiz:
x=
ni yoki 2Cx=y²-C² ni, ya’ni parabolalar oilasini hosil qilamiz.